Area superficie ottenuta dalla rotazione di una curva data in equazione polare

[Francesco712]

Si vuole calcolare l'area della superficie ottenuta facendo ruotare di un angolo $2pi$ intorno all'asse $y$ la curva di equazione polare \(\displaystyle \rho=sin^2(\theta) \) dove $0\leq\theta\leq\pi/2$.

Allora, scrivo la curva in forma parametrica: $x=\rho(\theta)cos(\theta)$ e $y=\rho(\theta)sen(\theta)$.
Ruotando attorno all'asse $y$ ottengo la superficie di equazione:

$x=\rho(\theta)cos(\theta)cos(\phi)$
$y=\rho(\theta)sen(\phi)$
$z=\rho(theta)cos(\theta)sen(\phi)$

e calcolando le derivate parziali e quindi il prodotto vettoriale ottengo, avendo posto $f(\theta)=\rho(\theta)cos(\theta)$:
$Area=2\pi\int_0^(\pi/2)f(\theta)\sqrt{f'(\theta)^2 + y'(\theta)^2}d\theta$
Ma a questo punto mi vengono dei calcoli troppo complicati e strani per essere veri. Diciamo che dopo vari passaggi arrivo ad un integrale che non penso corretto e che comunque non riesco a calcolare: $Area=2\pi\int_0^(\pi/2)sen^3(\theta)cos(\theta)\sqrt{1 + 3cos^2(\theta)}d\theta$

[ciampax]

Se poni $t=\cos\theta$ allora $dt=-\sin\theta\ d\theta$ e inoltre $\theta=0\to t=1,\ \theta=\pi/2\to t=0$. Ricordando che $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-t^2$ si ha allora
$$A=2\pi\int_1^0 (1-t^2)t\sqrt{1+3t^2}(-dt)$$
che dovrebbe risultare più semplice.

[porzio1]

integrando per parti,mettendo l'integrale indefinito in questa forma
$-1/6 int-6costhetasenthetasqrt(1+3cos^2theta)sen^2thetad theta=-1/6 int sen^2theta d (( 1+3cos^2theta)^(3/2)/(3/2))$,
si arriva ad un integrale praticamente immediato