Area superficie di rotazione, è giusto il procedimento?
salve, io avevo questo esercizio, vorrei sapere se l'ho risolto bene, perché l'ultima parte sul libro non c'è e io dunque la ho "ipotizzata" logicamente ma vorrei avere una conferma..
il testo è
Calcolare l’area della superficie ottenuta ruotando attorno all’asse $z$ la curva di equazioni parametriche $r(t) = (t2 , 0, t)$ quando $t in [0, 1]$. (Attenzione: il risultato è un integrale non semplicissimo, quindi non è obbligatorio svolgerlo).
io ho dunque fatto così:
$x(t)=t^2$
$z(t)=t$
$t in [0, 1] $
$x=t^2cos(theta)$
$y=t^2sin(theta)$
$z=t$
$theta in [0, 2pi]$
$ "d"S = |(rt) x (rtheta)| " d" t" d" theta$ (prodotto vettoriale) => $|(t^2cos(theta); -t^2sin(theta); 2t^3))| = t^(2)*sqrt(1+4t^2)$
Area dunque uguale a
$ int int " d"S $
$int " d" theta int t^2sqrt(4t^2+1)" d"t$
e quindi infine:
Area= $2pi int t^2sqrt(1+4t^2)
il testo è
Calcolare l’area della superficie ottenuta ruotando attorno all’asse $z$ la curva di equazioni parametriche $r(t) = (t2 , 0, t)$ quando $t in [0, 1]$. (Attenzione: il risultato è un integrale non semplicissimo, quindi non è obbligatorio svolgerlo).
io ho dunque fatto così:
$x(t)=t^2$
$z(t)=t$
$t in [0, 1] $
$x=t^2cos(theta)$
$y=t^2sin(theta)$
$z=t$
$theta in [0, 2pi]$
$ "d"S = |(rt) x (rtheta)| " d" t" d" theta$ (prodotto vettoriale) => $|(t^2cos(theta); -t^2sin(theta); 2t^3))| = t^(2)*sqrt(1+4t^2)$
Area dunque uguale a
$ int int " d"S $
$int " d" theta int t^2sqrt(4t^2+1)" d"t$
e quindi infine:
Area= $2pi int t^2sqrt(1+4t^2)
Risposte
La curva è nel piano $xz$, puoi tranquillamente rifarti alla nota formula delle scuole superiori.
ehm.. e quale sarebbe questa nota formula???? o.O
mail mio procedimento è giusto fin qui o no???
mail mio procedimento è giusto fin qui o no???
Il volume generato dalla rotazione attorno all'asse $x$ del grafico della funzione $y = f(x)$ definita nell'intervallo $[a,b]$ vale:
$\pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
$\pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
"speculor":
Il volume generato dalla rotazione attorno all'asse $x$ del grafico della funzione $y = f(x)$ definita nell'intervallo $[a,b]$ vale:
$\pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
ma il mio ragionamento fa così schifo??
scusa ma poi io non ho una funzione in quella forma...
io ho proprio la curva in forma parametrica... e l'asse di rotazione è z..
come la faccio $f^2(x)$ ???? che poi dovrebbe essere $f^2(x;y)$ o $f^2(x;z)$
comunque alle superiori non ci han mai fatto a noi i solidi di rotazione O.o
La tua funzione è semplicemente $x = f(z) = z^2$ definita nell'intervallo $[0,1]$. Siccome devi ruotare intorno all'asse z, la variabile indipendente, la formula è perfettamente adattabile. Sei sicuro che i punti della curva abbiano $y = 0$?
"speculor":
La tua funzione è semplicemente $x = f(z) = z^2$ definita nell'intervallo $[0,1]$. Siccome devi ruotare intorno all'asse z, la variabile indipendente, la formula è perfettamente adattabile. Sei sicuro che i punti della curva abbiano $y = 0$?
certo! il libro nela teoria che ho studiato per impostare questo esercizio da sempre la curva in relazione a 2 variabili... una è sempre 0.... e poi avevo letto sugli appunti di un mio amico che seguiva un altro corso la formula... ma mi sembra di ricordare che fosse
$2pi$ $int$ $[f(x)]^2$
anche perché la funzione ruota, fa un giro completo e un giro completo è $2pi$.... comunque risolvendo quell'integrale (con wolfram perché come da testo è molto difficile) mi da un circa 3,60 mentre con questo metodo mi darebbe
$pi$ $int z^4 dz$ => $pi/5$ o usando $2pi$ mi darebbe $(2/5)pi$
tutti valori "lontani" da quel 3,60....
ma il mio ragionamento/impostazione va bene?? lo risolvo anche così?? se va bene i risultati alla fine devono essere uguali... e poi come da testo dovrei trovarmi un integrale difficile non uno immediato...
comunque sul libro sui solidi di rotazione da solo la versione che vi ho detto....
La formula che ti ho scritto è quella giusta, il motivo della presenza di $\pi$ è legato alla superficie del cerchio $\pir^2$ di raggio $r = f(x)$. Non vorrei tu abbia sbagliato l'altro procedimento.
eh.. il problema più grande è che mi sembraq troppo veloce per un esercizio di un esame... (è il testo dell'ultimo esercizio dell'ultimo esame di analisi II)
ho mandato settimane fa la mail al prof per chiedergli la correzione del compito maniente.. non mi ha nemmeno degnato di una risposta!!!!
quindi non so se è giusto o no il risultato finale.... l'unico indizio è quella frase "il risultato è un integrale molto difficile quindi non è obligatorio svolgerlo"
da qui deduco (non per sfiducia nei tuo confronti!!!) che è troppo semplice quella formula e che forse anche se giusta, il prof non voleva fosse usata..
purtroppo qua non mi considera... l'unico esercizio che sono riuscito a correggermi da solo è l'equazione differenziale che wolfram mi risolve subito e mi da il risultato.. da li sono riuscito studiando la teoria a colmare la lacuna e rifare l'esercizo da 0 e arrivare al risultato giust (essendo sicuro he sia giusto!!!)
ma per gli altri esercizi come questo, che in base a dei dati vbisogna impostare (Bene altrimenti comuique wolfram calcola ma il risultato sarà sbagliato...) l'equazione/formula Wolfram non mi può aiutare!! =(
ho mandato settimane fa la mail al prof per chiedergli la correzione del compito maniente.. non mi ha nemmeno degnato di una risposta!!!!
quindi non so se è giusto o no il risultato finale.... l'unico indizio è quella frase "il risultato è un integrale molto difficile quindi non è obligatorio svolgerlo"
da qui deduco (non per sfiducia nei tuo confronti!!!) che è troppo semplice quella formula e che forse anche se giusta, il prof non voleva fosse usata..
purtroppo qua non mi considera... l'unico esercizio che sono riuscito a correggermi da solo è l'equazione differenziale che wolfram mi risolve subito e mi da il risultato.. da li sono riuscito studiando la teoria a colmare la lacuna e rifare l'esercizo da 0 e arrivare al risultato giust (essendo sicuro he sia giusto!!!)
ma per gli altri esercizi come questo, che in base a dei dati vbisogna impostare (Bene altrimenti comuique wolfram calcola ma il risultato sarà sbagliato...) l'equazione/formula Wolfram non mi può aiutare!! =(
Proprio adesso mi rendo conto che ti ha chiesto l'area della superficie e non il volume!!! 
Il tuo procedimento è assolutamente corretto. Devi avere sbagliato un segno quando hai calcolato il prodotto vettoriale, errore che non ha pregiudicato il risultato finale. Scusa per la mia distrazione.
Il tuo procedimento è assolutamente corretto. Devi avere sbagliato un segno quando hai calcolato il prodotto vettoriale, errore che non ha pregiudicato il risultato finale. Scusa per la mia distrazione.
ah così quella formula è per il volume??? buono a sapersi!! continuavo a pensare che fosse per l'area XD
comunque scusa ma il mio risultato viene positivo quindi non vedo dove ci deve essere l'errore nel prodotto vettoriale! o.O oppure doveva venir negativo e ho sbagliato perché mi è venuto positivo???
comunque ti ringrazio ancora per aver continuato ad ascoltarmi e per non aver smesso di rispondermi! =)
comunque scusa ma il mio risultato viene positivo quindi non vedo dove ci deve essere l'errore nel prodotto vettoriale! o.O oppure doveva venir negativo e ho sbagliato perché mi è venuto positivo???
comunque ti ringrazio ancora per aver continuato ad ascoltarmi e per non aver smesso di rispondermi! =)
Ripeto, quando poi calcoli la norma un eventuale errore di segno viene assorbito. In ogni modo io ho ricontrollato, la prima componente di quel prodotto vettoriale dovrebbe avere un segno meno davanti.
Hai ragionissima!!!! =) ho appena rifatto il calcolo e in effetti viene un meno davanti a tutto! non so se ho sbagliato a ricopiarlo dal foglio di brutta o se proprio me ne sono scordato dall'inizio! XD
Grazie comunque!!! ora che so che è giusto questo metodo me lo studierò per metabolizzarlo bene!!!!
Grazie comunque!!! ora che so che è giusto questo metodo me lo studierò per metabolizzarlo bene!!!!
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