Area superficie

[Gost91]

Salve!
Anche questo è un esercizio che ha un risultato che sinceramente non mi rassicura più di tanto...

Devo calcolare l'area della superficie $\Sigma={(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2=4z^2, 1<=z<=2}$

Applicherei la formula $A(\Sigma)=intint_\Sigma||\phi_u\times\phi_v||dudv$

Inizio con la parametrizzazione:

$\phi:{(x=2ucosv),(y=2usinv),(z=u):}$

$u\in[1,2], v\in[0,2pi]$

Da cui ottengo i vettori tangenti:

$\phi_u=[[2cosv],[2sinv],[1]]$

$\phi_u=[[-2ucosv],[2usinv],[0]]$

Quindi mi calcolo le componenti della normale:

$\vecn_\Sigma=\phi_u\times\phi_v=|(\veci,\vecj,\veck),(2cosv,2sinv,1),(-2usinv,2ucosv,0)|=$

$(-2ucosv)\veci+(-2usinv)\vecj+(4ucos^2v+4usin^2v)\veck$

Quindi mi calcolo la norma:

$||\phi_u\times\phi_v||=sqrt(4u^2cos^2v+4u^2sin^2v+16u^2)=sqrt(20u^2)=2usqrt(5)$

Termino calcolando l'integrale:

$int_(0)^(2pi)int_(1)^(2)2usqrt(5)dudv=2sqrt(5)int_(0)^(2pi)int_(1)^(2)ududv=sqrt(5)int_(0)^(2pi)u^2|_1^2dv=$

$sqrt(5)int_(0)^(2pi)3dv=3sqrt(5)int_(0)^(2pi)dv=6pisqrt(5)$

Sinceramente la parte che reputo meno attendibile è quella riguardante la parametrizzazione, poi per il resto i calcoli mi sembrano corretti anche se il risultato non è che sia proprio bellissimo.
Grazie in anticipo a tutti!

[poncelet]

A me sembrerebbe corretto. La parametrizzazione mi sembra giusta ed anche i calcoli.

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un tronco di cono, potresti fare una verifica calcolando l'area della superficie per via elementare.