Area superficie

[rubik2]

calcolare l'area della frontiera (in $RR^3$) dell'intersezione di due palle di raggio 2 con i centri a distanza 3. cerco aiuto

[codino75]

ma che devi risolverlo attraverso la geometria analitica (riferimento cartesiano etc etc)???

[Sk_Anonymous]

Conviene fare la figura (in Oxyz) assumendo come origine il centro della prima
"palla" ed il punto (3,0,0) come centro della seconda.
Le "due palle" si intersecano secondo una circonferenza giacente nel piano
x=3/2 e la superficie A richiesta e' la somma di due calotte sferiche
uguali e di altezza h=2-3/2=1/2.Ricordando che la superficie di una calotta
e' data da $2pi* r* h $ (dove r e' il raggio della palla cui la calotta fa parte)
risulta che :
$A=2(2pi*r*h)=2(2pi*2*1/2)=4pi$
Se si vuole procedere analiticamente occorre calcolare la prima forma differenziale
$EG-F^2$.Tuttavia nel nostro caso il calcolo si semplifica perche'
la superficie in questione e' definite dalle seguenti equazioni:
$z=+-sqrt(4-x^2-y^2),-sqrt(4-x^2)<=y<=+sqrt(4-x^2),3/2<=x<=2$
Il doppio segno e' dovuto al fatto che ciascuna calotta giace per
meta' sopra e per meta' sotto il piano z=0.Per tali motivi calcoleremo ,per
ciascuna calotta,solo la superficie sopra per poi raddoppiare.
Si ha:
$z_x=(-x)/(sqrt(4-x^2-y^2)),z_y=(-y)/(sqrt(4-x^2-y^2))$ e dunque:
$A=4int_(3/2) ^2 dx int_(-sqrt(4-x^2))^(+sqrt(4-x^2))2/(sqrt(4-x^2-y^2))dy=8int_(3/2) ^2 dx*[asin(y/(sqrt(4-x^2)))]_(-sqrt(4-x^2))^(+sqrt(4-x^2))$
Ovvero:
$A=8 pi int_(3/2)^2dx=4pi$
karl