Area sottesa da una curva

[Zkeggia]

Salve, in un esame vecchio del mio professore di analisi ho trovato questo esercizio:
Trovare l'area della regione del piano xy delimitata dalle rette:
$y=0; x=0; x= 2pi$ e dalla curva di equazione:
$x(t) = at-bsint$
$y(t) = a - bcost$

dove t va da $0$ a $2pi$ e $0
Dunque per prima cosa ho guardato gli estremi di integrazione:
allora per quanto riguarda la x, dal momento che $sinx$ è una funzione continua e derivabile per sapere gli estremi di integrazione basta guardare i punti critici di tale funzione e confrontarli con la condizione $0 $a-b
Stesso discorso per $y$, dallo studio scopro abbastanza facilmente che

$a-b
Quindi ho gli estremi di integrazione e dovrei trovare l'area della curva. Ora, se la curva fosse del tipo $y =f(x)$ basterebbe integrare, al che ho pensato di portarla in questa forma, senza risultati... infatti non mi riesce invertire le relazioni date (ovviamente, dopo aver diviso il dominio della funzione nei tratti in cui è monotona). Al che mi chiedo come sia possibile trovare l'area di questa figura. Ho notato anche che $y(t) = (dx)/(dt)$ ma non sono riuscito a sfruttare questa condizione. Qualche Hint?

[fu^2]

Non vorrei dire fesserie, però tu hai una funzione (la seconda equazione) scritta nella forma $y=f(x)$ (in verità solo implicitamente, in quanto il parametro $t$ si inverte ma non in forma bella come hai notato te e in generale, in questo problema non ti interessa).

Quindi puoi calcolarne l'area sottesa da essa (sto facendo un discorso un pò più generale, non coi dati del tuo problema) come $int_a^b f(x)dx$.

se però $x=x(t)$ e $y(t)=f(x(t))$, sostituendo otterrai $int_a^b f(x(t))d(x(t))=int_{a(t_0)}^{b(t_1)} f(x(t))x'(t)dt$, ovvero devi fare un cambio di variabile.

Nel tuo caso la $f(x(t))$ è nota, come è nota $x'(t)$. (poi hai alcuni tagli sull'integrale visto che ti da le rette all'inizio se non sbaglio, ma questa è un'altra storia)

Concordi o ho detto cose che non interessano o sono cavolate ?

[gac1]

Se per caso hai già visto le formule di Gauss-Green, puoi usare quelle.

[Zkeggia]

Non capisco innanzitutto in questo caso quali sono sono gli estremi, perché ho condizioni sia sulla x che sulla y. In un caso normale gli estremi sulla y li ho automaticamente fissando le condizioni sulla x. Qui però non la riesco a ottenere $y=f(x)$ quindi forse( ? ) dovrei implementare questa cosa.

Inoltre di fatto mi suggerisci di scrivere $ y = f (x ( t ) )$. Però non capisco il senso della scritta $int f(x(t))d(x(t))$. Cioè in questo specifico caso sarebbe:

$ int (dx/dt)*d(x(t))$ ($y = (dx)/(dt)$) ma $d(x(t)) = d(at - bcost)$? e poi il cambio di variabile qual'è? porre $x(t) = s$? non capisco proprio...

[fu^2]

della $y=f(x)$ non ti importa più di tanto, ora ti spiego:

1. Cambio di variabile intendevo dire che al posto di avere gli estremi in funzione della $x$ gli avrai in funzione della $t$.

quindi il differenziale al posto di essere $dx$ verrà scritto come $d(x(t))$. MA cos'è questa scrittura? Come cosa intuitiva puoi pensare che $x(t)=int x'(t)dt$ ovvero $(dx)/(dt)=x'(t)$ e tornando alle forme differenziali associata a questa equazione,,,(detto malamente moltiplicamndo per $dt$...) ottieni $dx=x'(t)dt$ questo è quello che ho fatto nell'integrale (questa operazione tutto sommato è quella che fai quando fai i cambi di variabile...).

2. Come dicevo prima la $f(x)$ non la devi esplicitare, Nel tuo problema $f(x(t))=a-bcost$ e $x(t)=at-bsint$. Inoltre gli estremi di integrazione già in funzione della $t$ ti sono dati.

Più chiaro ora?

[Zkeggia]

un po' megio ma ho ancora un dubbio: gli estremi di integrazione in questo caso sono fissi, nel senso che non dipendono da t, giusto?

[fu^2]

certo

facciamo un esempio semplicissimo

voglio calcolare l'area sottesa da $y=f(x)=x$ tra $x=0$ e $x=1/4$.


l'area sarà data da $int_0^1xdx$.

cambio variabile, mettendo, ad esempio $f(x(s))=s^2$, quindi, in sostanza ho posto $x=s^2$, gli estremi sono dati da $0,1/2$ e l'integrale diventa quindi $int_0^{1/2}s^2*2sds$.

[Zkeggia]

Perfetto ora ho capito tutto. In effetti potevo pensare che non mi serviva esprimere y in funzione di x, ma andava benissimo scrivere $y = y(x(t)$ e poi sostituendo nell'integrale usare la regola della derivazione a catena... solo che a questo punto non capisco a cosa mi sia servito calcolare gli estremi per quanto riguarda l'asse y... cioè a che mi serve l'informazione $a-b

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