Area settore delimitato da una funzione in coordinate polari
Ciao a tutti, mentre sfogliavo un libro di analisi mi sono imbattuto in questa formula:
$$A = \frac 1 2 \int^{\theta_1}_{\theta_0}f^2(\theta)d\theta$$
Qualche indizio su come possa dimostrarla?
PS: l'esercizio era riportato nel capitolo di introduzione agli integrali quindi ipotizzo vada risolto solo per mezzo della definizione di integrale come somma di aree e senza quindi usare il teo. fondamentale e altre robe come integrali doppi
$$A = \frac 1 2 \int^{\theta_1}_{\theta_0}f^2(\theta)d\theta$$
Qualche indizio su come possa dimostrarla?
PS: l'esercizio era riportato nel capitolo di introduzione agli integrali quindi ipotizzo vada risolto solo per mezzo della definizione di integrale come somma di aree e senza quindi usare il teo. fondamentale e altre robe come integrali doppi
Risposte
Devi determinare l'elemento d'area in coordinate polari, prendi un vettore polare $r$ inclinato di $theta$, ruotalo di $d theta$ e allungalo di $dr$, ottieni un triangolo di area $dA=1/2rdr=1/2r^2d theta$
Hai provato a cercare su qualche altro testo di analisi II oppure su internet?
Comunque non è troppo difficile...
Innanzitutto devi ricordare che per un dominio regolare $A \subset RR^2$ vale che $\text{Area}_A=\int int_A \text{dxdy} = \frac{1}{2} \int_{gamma_{+}} \omega$, dove $omega(x,y)=(-y,x)$ [vedi formule di Gauss-Green per il calcolo dell'area]
Se la curva ha espressione polare $f(\theta)$, allora come curva parametrica puoi avere $ gamma(theta)={ ( x(theta)=f(theta)cos(theta) ),( y(theta)=f(theta)sin(theta) ):} $.
Ora basta ricordarsi come si calcola l'integrale lunga una curva, perciò $\text{Area}_A= \frac{1}{2} \int_{theta_1}^{theta_2} (-f(theta) \sin(theta),f(theta) \cos(theta)) * (f(theta) cos(theta) - f(theta) sin(theta),f(theta)sin(theta) + f(theta)cos(theta) ) \text{d}theta = \ldots = \frac{1}{2} \int_{theta_1}^{theta_2} f(theta)^2 \text{d}theta$
Ho iniziato a scrivere contemporaneamente a Vulplasir. A dire il vero quella è/sembra più un metodo per il calcolo dell'area di un settore circolare, ma come vedi non cambia molto, a meno di prendere $r=f(theta)$
Comunque non è troppo difficile...
Innanzitutto devi ricordare che per un dominio regolare $A \subset RR^2$ vale che $\text{Area}_A=\int int_A \text{dxdy} = \frac{1}{2} \int_{gamma_{+}} \omega$, dove $omega(x,y)=(-y,x)$ [vedi formule di Gauss-Green per il calcolo dell'area]
Se la curva ha espressione polare $f(\theta)$, allora come curva parametrica puoi avere $ gamma(theta)={ ( x(theta)=f(theta)cos(theta) ),( y(theta)=f(theta)sin(theta) ):} $.
Ora basta ricordarsi come si calcola l'integrale lunga una curva, perciò $\text{Area}_A= \frac{1}{2} \int_{theta_1}^{theta_2} (-f(theta) \sin(theta),f(theta) \cos(theta)) * (f(theta) cos(theta) - f(theta) sin(theta),f(theta)sin(theta) + f(theta)cos(theta) ) \text{d}theta = \ldots = \frac{1}{2} \int_{theta_1}^{theta_2} f(theta)^2 \text{d}theta$
Ho iniziato a scrivere contemporaneamente a Vulplasir. A dire il vero quella è/sembra più un metodo per il calcolo dell'area di un settore circolare, ma come vedi non cambia molto, a meno di prendere $r=f(theta)$
No, allora, ho scritto male. Prendi il raggio r (ovviamente il raggio varia in funzione di theta quindi sarà in generale $r=f(theta)$), allungalo di dr e ruotalo di $d theta$, e prendi il triangolo formato unendo r e d+dr. L'area di questo triangolo è circa pari a quella del settore circolare di raggio r e ampiezza $d theta$ a meno di infinitesimi di ordine superiore. Pertanto $dA=1/2r^2 theta$. Un altro modo migliore è suddividere un generico settore in n inervalli $(theta_i, theta_(i+1))$, per ogni intervallo considerare il settore circolare che lo approssima, fare la somma e mandare al limite, si ottiene lo stesso procedimento usato per il normale integrale di Riemann. Chiaramente il metodo proposto da feddy è più rigoroso, ma in questo modo riesci a capire intuitivamente cosa stai facendo per integrare un settore circolare (ossia integrare sull'elemento d'area di settore circolare), ed è un procedimento utile in altri contesti in cui devi trovare elementi di lnghezza, area o volume da integrare che risultino più comodi di altri.
Allo stesso modo puoi provare a ricavarti come si calcola la lunghezza di una curva in coordinatre polari
Scusate se avevo cancellato il commento, ma avevo risolto il problema. Intanto ri-ringrazio @feddy, ma il procedimento proposto da @Vulplasir era quello che cercavo perché volevo evitare integrali doppi (per un puro capriccio mio).
Alla fine mi sono trovato a mio agio a fare la scomposizioni in piccoli settori circolari che approssimano la curva e poi fare il limite delle aree come si fa per gli integrali classici di Riemann.
Comunque sinceramente non riesco a capire bene l'altro procedimento che hai postato, in particolare quando dici che
Perché? Siccome $r' = r + \Delta r$ il triangolo non è isoscele e non è quindi il segmento curvo non è più un settore circolare con angolo al centro $\theta$. Non capisco perché si possa approssimare lo stesso
Alla fine mi sono trovato a mio agio a fare la scomposizioni in piccoli settori circolari che approssimano la curva e poi fare il limite delle aree come si fa per gli integrali classici di Riemann.
Comunque sinceramente non riesco a capire bene l'altro procedimento che hai postato, in particolare quando dici che
"Vulplasir":
L'area di questo triangolo è circa pari a quella del settore circolare di raggio r e ampiezza $dθ$ a meno di infinitesimi di ordine superiore
Perché? Siccome $r' = r + \Delta r$ il triangolo non è isoscele e non è quindi il segmento curvo non è più un settore circolare con angolo al centro $\theta$. Non capisco perché si possa approssimare lo stesso
da corrisponde a $d theta$.
Comunque, nell'immagine l'area del settore circolare (l'area blu) è $1/2r^2da$, l'area del triangolino rosso è $1/2dr*rda$, ossia un infinitesimo di ordine superiore rispetto all'area blu.
Già, allora sono proprio identici i procedimenti. grazie!
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