Area Insieme Polare
Sia $ A $ un insieme polare rispetto al punto $ p_o $$ in $ $ R^2 $ , con $ p_o $ $ != $ $ (0,0) $ , dove quest'ultimo è l'origine del piano $ (x,y) $ , individuati dal sistema di assi cartesiani.
L'insieme $ A $ è, inoltre, quello costituito dai punti del piano le cui coordinate polari ( $ (rho ,vartheta ) $ , soddisfano alle relazioni :
$ vartheta $ $ in $ $ (a,b) $ e $ rho $ $ in $ $ [alpha(vartheta),beta(vartheta)] $ , dove $ (b-a)<=2π $ .
Adesso, il mio testo dice che per calcolare l'area di A devo usare la seguente formula :
$ Area A= 1/2int_(a)^(b) [beta^2(vartheta)-alpha^2(vartheta)] dvartheta $ .
Purtroppo non riesco a capire da dove trae origine questa formula, non essendoci la dimostrazione.
Se non si fosse capito, l'insieme in questione sarebbe una cosa di questo genere :
con la differenza di avere il polo non coincidente con l'origine ed una notazione diversa da quella dell'immagine.
Ho voluto essere il più chiaro possibile onde evitare equivoci.
Ringrazio anticipatamente.
L'insieme $ A $ è, inoltre, quello costituito dai punti del piano le cui coordinate polari ( $ (rho ,vartheta ) $ , soddisfano alle relazioni :
$ vartheta $ $ in $ $ (a,b) $ e $ rho $ $ in $ $ [alpha(vartheta),beta(vartheta)] $ , dove $ (b-a)<=2π $ .
Adesso, il mio testo dice che per calcolare l'area di A devo usare la seguente formula :
$ Area A= 1/2int_(a)^(b) [beta^2(vartheta)-alpha^2(vartheta)] dvartheta $ .
Purtroppo non riesco a capire da dove trae origine questa formula, non essendoci la dimostrazione.
Se non si fosse capito, l'insieme in questione sarebbe una cosa di questo genere :
con la differenza di avere il polo non coincidente con l'origine ed una notazione diversa da quella dell'immagine.
Ho voluto essere il più chiaro possibile onde evitare equivoci.
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Dal calcolo dell'area dei triangoli $A=\frac{1}{2}b\cdot h$
"Cuspide83":
Dal calcolo dell'area dei triangoli $A=\frac{1}{2}b\cdot h$
Volendo pervenire a quella formula con dei passaggi ?
In teoria, se non ho fatto una deduzione errata, dovrebbe essere che :
Area sottesa a curva $ beta(vartheta) $ = $ 1/2int_(a)^(b) beta^2(vartheta) dvartheta $ .
Il problema è che, se così fosse, non riesco a capire questa formula da dove deriva. Capita questa dovrei capire quella dell'area di A, dato che è evidente che essa si indica come differenza delle due aree sottese alle due curve.
Beh, semplicemente basta usare la formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi e la formula di riduzione nell'integrale doppio espresso in coordinate polari.
Infatti, detta \(\Phi\) la trasformazione polare di polo \(P_0=(x_0,y_0)\), cioé quella di equazioni:
\[
\begin{cases} x=x_0+\rho\ \cos \theta\\
y = y_0+\rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
il cui jacobiano (in valore assoluto, se serve) è \(\rho\), si ha:
\[
A=\Phi(A^*)\qquad \text{con } A^*:=\big\{ (\theta ,\rho)\in \mathbb{R}\times [0,\infty[:\ a\leq \theta \leq b\text{ e } \alpha (\theta)\leq \rho \leq \beta (\theta)\big\}
\]
ed \(A^*\) normale rispetto all'asse \(\theta\), per cui:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(A) &= \iint_A 1\ \text{d}x \text{d} y\\
&= \iint_{A^*} 1\ \rho\ \text{d} \theta\text{d} \rho \qquad \text{(passaggio a coordinate polari)}\\
&= \int_a^b \left( \int_{\alpha (\theta)}^{\beta (\theta)} \rho\ \text{d} \rho\right)\ \text{d} \theta \qquad \text{(formula di riduzione)}\\
&= \int_a^b \left. \frac{1}{2}\ \rho^2\right|_{\alpha (\theta)}^{\beta (\theta)}\ \text{d}\theta \\
&= \frac{1}{2}\ \int_a^b \big( \beta^2 (\theta) - \alpha^2 (\theta)\big)\ \text{d} \theta\; ,
\end{split}
\]
come scritto nel testo.
Euristicamente, puoi arrivare alla formula con le seguenti considerazioni.
Immagina di considerare il pezzo del tuo insieme \(A\) delimitato dalle semirette con origine in \(P_0=(x_0,y_0)\) aventi anomalie \(\theta\) e \(\theta +\text{d}\theta\).
Per \(\text{d}\theta\) "piccolo", tale pezzetto è assimilabile ad un trapezio con altezza \(\beta (\theta) -\alpha (\theta)\), base maggiore \(\beta(\theta)\ \text{d} \theta\) e base minore \(\alpha (\theta)\ \text{d} \theta\), perciò l'area di tale pezzettino (in accordo con le formule della Geometria Elementare) è:
\[
\text{d}S = \frac{1}{2}\ \big( \beta(\theta)\ \text{d} \theta + \alpha(\theta)\ \text{d} \theta\big)\ \big( \beta (\theta) -\alpha (\theta) \big) = \frac{1}{2}\ \big( \beta^2 (\theta) -\alpha^2 (\theta) \big)\ \text{d}\theta\; .
\]
Per ottenere l'area di \(A\) occorre "sommare" tutti i possibili contributi \(\text{d} S\) ed il modo opportuno per effettuare tale "somma" è integrare rispetto alla veriabile \(\theta\) (che è l'unica a comparire sotto il segno di differenziale nella formula per \(\text{d}S\)); in questo modo si ottiene:
\[
\operatorname{area}(A) = \int_a^b \text{d} S =\frac{1}{2}\ \int_a^b \big( \beta^2 (\theta) -\alpha^2 (\theta) \big)\ \text{d}\theta\; ,
\]
come già trovato in precedenza mediante un procedimento formalmente corretto.
Infatti, detta \(\Phi\) la trasformazione polare di polo \(P_0=(x_0,y_0)\), cioé quella di equazioni:
\[
\begin{cases} x=x_0+\rho\ \cos \theta\\
y = y_0+\rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
il cui jacobiano (in valore assoluto, se serve) è \(\rho\), si ha:
\[
A=\Phi(A^*)\qquad \text{con } A^*:=\big\{ (\theta ,\rho)\in \mathbb{R}\times [0,\infty[:\ a\leq \theta \leq b\text{ e } \alpha (\theta)\leq \rho \leq \beta (\theta)\big\}
\]
ed \(A^*\) normale rispetto all'asse \(\theta\), per cui:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(A) &= \iint_A 1\ \text{d}x \text{d} y\\
&= \iint_{A^*} 1\ \rho\ \text{d} \theta\text{d} \rho \qquad \text{(passaggio a coordinate polari)}\\
&= \int_a^b \left( \int_{\alpha (\theta)}^{\beta (\theta)} \rho\ \text{d} \rho\right)\ \text{d} \theta \qquad \text{(formula di riduzione)}\\
&= \int_a^b \left. \frac{1}{2}\ \rho^2\right|_{\alpha (\theta)}^{\beta (\theta)}\ \text{d}\theta \\
&= \frac{1}{2}\ \int_a^b \big( \beta^2 (\theta) - \alpha^2 (\theta)\big)\ \text{d} \theta\; ,
\end{split}
\]
come scritto nel testo.
Euristicamente, puoi arrivare alla formula con le seguenti considerazioni.
Immagina di considerare il pezzo del tuo insieme \(A\) delimitato dalle semirette con origine in \(P_0=(x_0,y_0)\) aventi anomalie \(\theta\) e \(\theta +\text{d}\theta\).
Per \(\text{d}\theta\) "piccolo", tale pezzetto è assimilabile ad un trapezio con altezza \(\beta (\theta) -\alpha (\theta)\), base maggiore \(\beta(\theta)\ \text{d} \theta\) e base minore \(\alpha (\theta)\ \text{d} \theta\), perciò l'area di tale pezzettino (in accordo con le formule della Geometria Elementare) è:
\[
\text{d}S = \frac{1}{2}\ \big( \beta(\theta)\ \text{d} \theta + \alpha(\theta)\ \text{d} \theta\big)\ \big( \beta (\theta) -\alpha (\theta) \big) = \frac{1}{2}\ \big( \beta^2 (\theta) -\alpha^2 (\theta) \big)\ \text{d}\theta\; .
\]
Per ottenere l'area di \(A\) occorre "sommare" tutti i possibili contributi \(\text{d} S\) ed il modo opportuno per effettuare tale "somma" è integrare rispetto alla veriabile \(\theta\) (che è l'unica a comparire sotto il segno di differenziale nella formula per \(\text{d}S\)); in questo modo si ottiene:
\[
\operatorname{area}(A) = \int_a^b \text{d} S =\frac{1}{2}\ \int_a^b \big( \beta^2 (\theta) -\alpha^2 (\theta) \big)\ \text{d}\theta\; ,
\]
come già trovato in precedenza mediante un procedimento formalmente corretto.
Esatto, ha proprio usato la formula dell'area sottesa ad una curva in coordinate polari. Ci sono tanti modi per derivarla. Una maniera da street-fighting mathematics è suddividere la regione in triangolini molto piccoli di ampiezza angolare $d\theta$. In effetti la base del triangolino sarebbe un archetto di circonferenza, ma siccome è molto piccolo lo consideriamo come diritto. Per lo stesso motivo, possiamo comportarci come se il triangolino fosse isoscele. L'area del triangolino è quindi \(\frac{1}{2}r\times \text{lunghezza della base}\), e la lunghezza della base è \(r\dtheta\). Conclusione: l'area del triangolino è \(\frac{1}{2}r^2 d\theta\), e sommando (=integrando) tutti questi contributi si ottiene l'integrale che dici.
PS Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
PS Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
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