Area facce tetraedro di Cauchy: geometria solida vs teorema della divergenza

[mbematte]

Salve,
ho un problema col tetraedro di Cauchy, in particolare con la relazione fra le aree delle facce del tetraedro. Non capisco dove e cosa sbaglio dato che ottengo due risultati diversi a seconda del metodo usato.

Dato che la dimostrazione è spesso data per scontato, vorrei dimostrare che:
$ A_n*cos(alpha)=A_x $
(dove $A_n$ è l'area della faccia inclinata, $A_x$ è l'area del triangolo AOB e $alpha$ è l'angolo HAO)
Per via geometrica:
$A_x=(bar(AO)*bar(OB))/2$
$A_n=(bar(AC) *bar(BH))/2$
ma $bar(AC)=bar(AO)/cos(alpha)$
quindi $A_n=(bar(AO)*bar(BH))/(cos(alpha)*2$
Sostituendo i valori ottenuti nella formula da dimostrare:
$(bar(AO)*bar(OB))/2=cos(alpha)*(bar(AO)*bar(BH))/(cos(alpha)*2$
Da cui
$bar(OB)=bar(BH)$ che evidentemente non ha senso.

Procedendo invece attraverso l'analisi matematica:
Considerando il vettore della base canonica $bar(e_1)=[ (1),(0),(0) ] $ ed usando il teorema della divergenza risulta:
$int int int_(V)^()nabla*bar(e_1) dV = $
$=int int_(A_x)^()-bar(e_1)*bar(e_1) dA + int int_(A_y)^()-bar(e_2)*bar(e_1) dA + int int_(A_z)^()-bar(e_3)*bar(e_1) dA + int int_(A_n)^()bar(n)*bar(e_1) dA$
Semplificando i termini pari a zero e svolgendo i prodotti scalari si ottiene:
$ A_n*cos(alpha)=A_x $

Come mai accade ciò? Sono leciti i passaggi fatti? Se non lo fossero qualcuno potrebbe darmi due dritte su come dimostrare la relazione?
Grazie a tutti in anticipo!!

[coffee2]

La dimostrazione analitica è giusta, nella dimostrazione trigonometrica quello che non funziona è il fatto che l'angolo $HAO$ non ha ampiezza $\alpha$.

$\alpha$ è la misura dell'angolo diedro formato tra i piani contenenti i triangoli $ABC$ e $ABO$, che non coincide con l'ampiezza dell'angolo $HAO$ perché il piano che contiene il triangolo $AOC$ non è perpendicolare alla retta $AB$ (https://it.wikipedia.org/wiki/Angolo_di ... olo_diedro)

Se ti interessa fare una dimostrazione trigonometrica, può essere utile considerare sulla retta $AB$ il punto $P$ tale che il piano contenente il triangolo $CPO$ sia perpendicolare alla retta $AB$ (questo punto $P$ esiste, perché...)

[mbematte]

Scusa ma continuo a non capire...$alpha$ è l'angolo sul piano $xy$ tra le (semi)rette di origine in A intersezione rispettivamente del piano in cui giace il triangolo $AOB$ con $xy$ e del piano in cui giace il triangolo $ABC$ con $xy$. Come può l'inclinazione dei piani influenzare tale angolo?
L'$alpha$ della formula dovrebbe riferirsi all'angolo sul piano $xy$ dato che viene usato per calcolare la componente del vettore lungo il versore $hat(i)$ o sbaglio?

[coffee2]

"mbematte":Scusa ma continuo a non capire...$ alpha $ è l'angolo sul piano $ xy $ tra le (semi)rette di origine in A intersezione rispettivamente del piano in cui giace il triangolo $ AOB $ con $ xy $ e del piano in cui giace il triangolo $ ABC $ con $ xy $. Come può l'inclinazione dei piani influenzare tale angolo?

Lo influenza, è un dato di fatto Guarda il disegno del tuo primo messaggio: $AOC$, $AOB$ e $BOC$ sono angoli retti; $ABC$, $ACB$ e $BAC$ sono angoli interni di un triangolo, quindi uno dei tre è acuto. Immaginiamo che sia $ABC$: allora non sarà la stessa cosa prendere l'ampiezza di $AOC$ o quella di $ABC$ come misura dell'angolo tra i piani $xz$ e $yz$.

Scegliamo di prendere l'ampiezza di $AOC$ dato che il piano che contiene $AOC$ è perpendicolare alla retta $z$ lungo cui si intersecano $xz$ e $yz$. Perché questa scelta è sensata? Perché essendo perpendicolare alla retta di intersezione, questo piano contiene le direzioni di $\vec{e_1}$ e $\vec{e_2}$. In $\mathbb R^3$, $\vec{e_1}$ è il versore normale al piano $yz$, quindi nel piano $xy$ risulta essere il versore normale alla retta $AO$; allo stesso modo, $\vec{e_2}$ che in $\mathbb R^3$ è il versore normale al piano $xz$, diventa il versore normale di $OC$ nel piano $xy$. Quindi $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}$ è contemporaneamente il coseno di $AOC$ in $xy$ e il coseno dell'angolo tra $xz$ e $yz$ in $\mathbb R^3$ e tutto quadra.

"mbematte":L'$ alpha $ della formula dovrebbe riferirsi all'angolo sul piano $ xy $ dato che viene usato per calcolare la componente del vettore lungo il versore $ hat(i) $ o sbaglio?

Il problema è lo stesso. La dimostrazione analitica ti torna perché sei d'accordo nel considerare $\vec{n}\cdot\vec{e_1}$ come il coseno dell'angolo formato tra i piani che hanno $\vec{n}$ e $\vec{e_1}$ come versori normali. Ma la direzione del vettore $\vec{n}$ non è contenuta nel piano $xy$: in generale, $\vec{n}$ si scriverà come somma di una componente $\vec{n}_{xy}$ parallela al piano $xy$ e di una componente $\vec{n}_z$ parallela all'asse $z$. Quando ti restringi al piano $xy$, il vettore $\vec{e_1}$ diventa versore normale della retta $AO$ e $\hat{n}:=\vec{n}_{xy}/|\vec{n}_{xy}|$ è il versore normale della retta $AC$; la normalizzazione è necessaria perché $|\vec{n}_{xy}|<1$ proprio perché $\vec{n}_z$ non è nullo. Allora nel piano $xy$ l'angolo $CAO$ ha coseno uguale a $\hat{n}\cdot\vec{e_1}=\frac{\vec{n}_{xy}\cdot\vec{e_1}}{|\vec{n}_{xy}|}$, diverso da $\vec{n}_{xy}\cdot\vec{e_1}=\vec{n}\cdot\vec{e_1}$ che abbiamo detto all'inizio essere il coseno dell'angolo $\alpha$.

[mbematte]

Ok ora è tutto chiarissimo, grazie mille