Area di una Superficie parametrica

[kondor1]

Salve a tutti,
sto avendo difficoltà con questo esercizio che chiede di calcolare l'area della superficie di equazioni parametriche:

\[ \begin{cases}x=u-v \\ y=u^2 \quad (u,v) \in \text(D) \\ z=u+v \end{cases} \]

dove $D={(u,v) \in \mathbb{R^2} | u^2+v^2\le 4, u\ge 0 ,v\ge \sqrt{3}u }$

Ho calcolata la matrice Jacobiana:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2u & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

pertanto l'area si calcola come:

\[ \iint_{D} \sqrt{L^2+M^2+N^2}dudv=\iint_{D}2\sqrt{2u^2+1}dudv \]

Ora il problema è che non riesco a trovare gli estremi di integrazione, avevo pensato di passare a coordinate polari, ma così facendo ho difficoltà a trovare gli estremi in cui varia theta e forse non è quella la strada giusta.

Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie

[quantunquemente]

$D$ è la parte del primo quadrante del cerchio $u^2+v^2 leq 4$ al di sopra della retta $v=sqrt3u$
questa retta forma col semiasse positivo delle $u$ l'angolo $pi/3$
quindi....

[kondor1]

Ho impostato in questo modo:

\[ \int^{2}_{0}2\rho d\rho\int^{\pi/2}_{\pi/3}(\sqrt{2\rho^2\cos^2\theta+1})d\theta \]

e non so proseguire...