Area di una superficie ottenuta per rotazione

[ghezzi68v]

Buongiorno a tutti Avrei dei dubbi su questi ragionamenti :

come potrei agire se volessi calcolare l'area della superficie che si ottiene ruotando la funzione $y=sen(x)$ ,

con $x in [0,pi]$ attorno all'asse $x$?

Per il secondo teorema di Guldino, $A(\Sigma)=2pi int_a^b x(t) sqrt( ( x^{\prime}(t) )^2 + ( z^{\prime}(t) )^2 ) dt$ con $t in [a,b]$

L'esercizio richiedeva anche una parametrizzazione della superficie in esame, che ho parametrizzato così

$\Sigma : \{(x = t),(y = sen(t)cos(\theta)),(z = sen(t)sen(\theta)):}$

quindi $\sigma(t,\theta)= ( t, sen(t)cos(\theta) , sen(t)sen(\theta) )$ per $t in [0,pi]$ e $\theta in [0,2pi)$

da cui ottengo derivando parzialmente

$\sigma_t : ( 1, -cos(t)cos(\theta) , cos(t)sen(\theta) )$ e $\sigma_\theta : ( t, sen(t)cos(\theta) , sen(t)sen(\theta) )$

La formula $int_\Sigma ds = int int_D || \sigma_t ^^ \sigma_\theta || dtd\theta$ mi riconduce a quella di Guldino

per cui $A(\Sigma)=2pi int_0^pi sen(t) sqrt( cos^2 (t) + 1 ) dt$

Vorrei sapere se la parametrizzazione va bene e se il calcolo si fa così. Ringrazio in anticipo!

[ghezzi68v]

Quindi $|\Sigma| = 2pi int_0^pi sen(u) sqrt( cos^2 (u) + 1 ) du$ ? Per il resto mi è chiaro thanks