Area di una spirale logaritmica
Non so se metterlo in Analisi o Geometria, provo qui.
Ho una spirale logaritmica in coordinate polari definita dall'equazione
$ r(theta)=r_0*e^(ktheta) $
Devo sostanzialmente trovare la superficie di questa spirale. Intanto calcolo in tutti i modi che conosco i $ ds $ di area infinitesima, lasciando l'integrale. I metodi con cui ho approcciato sono:
1. Prendo l'elemento del piano $ r,theta $ più generico possibile, cioè il quadratino (a meno di inf. di ordine superiore) di lati $ dr $ e $ rdtheta $ .
Osservando soltanto che $ dr=k*r_0*e^(ktheta)d theta $ , ricavo il $ ds $ di superficie:
$ ds=r d r d theta=kr_0^2e^(2ktheta)d theta^2=2kr_0^2e^(2ktheta)theta d theta $
(Primo dubbio: il $ d theta^2 $ non è un differenziale di ordine superiore se le variabili che variano sono due giusto?)
2. Prendo il triangolino con estremi nell'origine, in $ r $ e in $ r+dr $. Questo triangolino dovrebbe avere area calcolabile, con base $ r+dr $ e altezza $ r d theta $ (dunque non l'elemento di linea infinitesimo della spirale, ma quello della circ. di raggio $ r $ e centro nell'origine); l'area dovrebbe essere:
$ ds=1/2(r+dr)r d theta=1/2r^2d theta + 1/2rdrd theta $
Sostituendo a $ r $ la sua espressione in funzione di $ theta $ ottengo un $ d theta^3 $, che tralascio perché troppo piccolo. Allora il mio $ ds $ con le opportune sostituzioni diventa:
$ ds=1/2kr_0^2e^(2ktheta)d theta^2=kr_0^2e^(2ktheta)theta d theta $
Da che deriva la mancanza del fattore 2? O meglio, dove ho sbagliato?
La cosa tragica è che l'integrale che calcolo numericamente combacia con quello calcolato al computer solo se approssimo il triangolino dandogli base $ rd theta $ e altezza $ r $, per cui ottengo un $ ds=1/2r^2d theta=1/2r_0^2e^(2ktheta)d theta $.
Ho una spirale logaritmica in coordinate polari definita dall'equazione
$ r(theta)=r_0*e^(ktheta) $
Devo sostanzialmente trovare la superficie di questa spirale. Intanto calcolo in tutti i modi che conosco i $ ds $ di area infinitesima, lasciando l'integrale. I metodi con cui ho approcciato sono:
1. Prendo l'elemento del piano $ r,theta $ più generico possibile, cioè il quadratino (a meno di inf. di ordine superiore) di lati $ dr $ e $ rdtheta $ .
Osservando soltanto che $ dr=k*r_0*e^(ktheta)d theta $ , ricavo il $ ds $ di superficie:
$ ds=r d r d theta=kr_0^2e^(2ktheta)d theta^2=2kr_0^2e^(2ktheta)theta d theta $
(Primo dubbio: il $ d theta^2 $ non è un differenziale di ordine superiore se le variabili che variano sono due giusto?)
2. Prendo il triangolino con estremi nell'origine, in $ r $ e in $ r+dr $. Questo triangolino dovrebbe avere area calcolabile, con base $ r+dr $ e altezza $ r d theta $ (dunque non l'elemento di linea infinitesimo della spirale, ma quello della circ. di raggio $ r $ e centro nell'origine); l'area dovrebbe essere:
$ ds=1/2(r+dr)r d theta=1/2r^2d theta + 1/2rdrd theta $
Sostituendo a $ r $ la sua espressione in funzione di $ theta $ ottengo un $ d theta^3 $, che tralascio perché troppo piccolo. Allora il mio $ ds $ con le opportune sostituzioni diventa:
$ ds=1/2kr_0^2e^(2ktheta)d theta^2=kr_0^2e^(2ktheta)theta d theta $
Da che deriva la mancanza del fattore 2? O meglio, dove ho sbagliato?
La cosa tragica è che l'integrale che calcolo numericamente combacia con quello calcolato al computer solo se approssimo il triangolino dandogli base $ rd theta $ e altezza $ r $, per cui ottengo un $ ds=1/2r^2d theta=1/2r_0^2e^(2ktheta)d theta $.
Risposte
Nessuna risposta a questa domanda?
penso che la via corretta è proprio quella che ritieni tragica.
Se consideri un raggio di anomalia generica $ \theta $ a cui corrisponde il raggio generico $r$, e da questo stacchi un angolo $d\theta$, il tratto infinitesimo di arco di spirale sotteso da $d\theta$ ha lunghezza $ds=r*d\theta$ e l'area del triangolo infinitesimo avente vertice nel polo della spirale ed individuato dall'angolo $d\theta$ vale:
$dA$$=0.5*r*r*d\theta$ = $0.5*r^2*d\theta$
da cui è immediato il calcolo dell'area del settore di spirale mediante integrazione dopo aver sostituito a $r$ l'equazione della spirale $r=ro*e^(k*\theta)$
penso che la via corretta è proprio quella che ritieni tragica.
Se consideri un raggio di anomalia generica $ \theta $ a cui corrisponde il raggio generico $r$, e da questo stacchi un angolo $d\theta$, il tratto infinitesimo di arco di spirale sotteso da $d\theta$ ha lunghezza $ds=r*d\theta$ e l'area del triangolo infinitesimo avente vertice nel polo della spirale ed individuato dall'angolo $d\theta$ vale:
$dA$$=0.5*r*r*d\theta$ = $0.5*r^2*d\theta$
da cui è immediato il calcolo dell'area del settore di spirale mediante integrazione dopo aver sostituito a $r$ l'equazione della spirale $r=ro*e^(k*\theta)$
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