Area di una iperbole e di un quadrato

[moari]

Salve a tutti,
grazie per l'attenzione... ho un esercizio credo molto banale a cui però non riesco a dare una soluzione corretta.

Ho bisogno di calcolare l'area della parte del piano $ xy<=t $ all'interno del quadrato unitario dato da $ chi_(0,1)( x,y) $ funzione indicatrice, $ AAtin[0,1] $.
Procederei con il calcolo di un integrale ma non saprei come scegliere gli estremi d'integrazione.

Se può interessare arrivo a questo calcolo da un esercizio di probabilità, volendo trovare $ P(XY<=t) $ con $X,Y$ v.a. di distribuzione uniforme in $ [0,1] $

[Lo_zio_Tom]

sarebbe da spostare in Statistica e probabilità...devi calcolare la distribuzione di densità congiunta del prodotto di variabili indipedenti....ora ti faccio vedere....chiaramente $X,Y$ indipendenti...

[moari]

Ciao tommik,
apprezzo molto il tuo impegno e hai già risposto ad alcune mie domande in Statistica, grazie mille.
Questa l'ho postata qui essendo più interessato alla parte di "analisi", alla risoluzione di quell'integrale

[Lo_zio_Tom]

abbiamo $f(x)=1$; $f(y)=1$ indipendenti.

la formula di trasformazione è la seguente:


$f_(Z,V)(z,v)=f_(X,Y)(x(z,v);y(z,v))|detJ|$

da integrare su tutto il dominio di v


poniamo quindi

${{: ( xy=z ),( x=v ) :}rarr{{: ( x=v ),( y=z/v ) :} rarr{z
calcoliamo lo Jacobiano:

$[ (( partialx)/(partialv) , ( partialx)/(partialz) ),( ( partialy)/(partialv) , ( partialy)/(partialz) ) ] =[ ( 1 , 0 ),( -z/v^2 , 1/v ) ]=1/v $

[Lo_zio_Tom]

e quindi basta risolvere il seguente integrale:

$int_(z)^(1)1/vdv=-logz$

$0

Cita

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[moari]

Credo di non aver capito benissimo, quello che mi sconcerta è che la soluzione che il mio prof riporta è "tramite calcoli elementari ne viene $ t-tlogt $"

[gugo82]

Basta fare un disegnino per capire...

In pratica vuoi calcolare l'area della regione col bordo colorato:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="grey"; plot("1/(5*x)",0.05,1.2);
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/(5*x)",0.2,1); path([[0.2,1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,0.2]]);[/asvg]
e si vede facendo due conticini che, ponendo:
\[
R = [0,t] \times [0,1]\; ,
\]
l'area che ti interessa è:
\[
\begin{split}
A &= \operatorname{area} R + \int_t^1 \frac{t}{x}\ \text{d} x\\
&= t + \int_t^1 \frac{t}{x}\ \text{d} x\; .
\end{split}
\]

[moari]

"gugo82":Basta fare un disegnino per capire...

In pratica vuoi calcolare l'area della regione col bordo colorato:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="grey"; plot("1/(5*x)",0.05,1.2);
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/(5*x)",0.2,1); path([[0.2,1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,0.2]]);[/asvg]
e si vede facendo due conticini che, ponendo:
\[
R = [0,1/t] \times [0,1]\; ,
\]
l'area che ti interessa è:
\[
\begin{split}
A &= \operatorname{area} R + \int_{1/t}^1 \frac{1}{x}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{t} + \int_{1/t}^1 \frac{1}{x}\ \text{d} x\; .
\end{split}
\]

Grazie per la risposta, ma ancora non mi è chiaro qualcosa:
Se $ S $ è l'area che voglio calcolare, come faccio a capire che $ S-R $ è proprio quell'integrale? E come mi spiego poi il risultato diverso dalla soluzione che mi è stata fornita?

Per favore spiegamela come se fossi il più stupido degli studenti di matematica, ci deve essere qualcosa a basso livello che mi sfugge

[Lo_zio_Tom]

"moari":Credo di non aver capito benissimo, quello che mi sconcerta è che la soluzione che il mio prof riporta è "tramite calcoli elementari ne viene $ t-tlogt $"

ci sono vari modi di risolverlo....è un problema elementare.....io sono arrivato fino alla densità, pensavo che l'integrale finale fossi in grado da solo di farlo.....anyway...

$int_(0)^(t)-logzdz=-zlogz]_(0)^(t)+int_(0)^(t)dz=t-tlogt$

[gugo82]

Se $S$ è l'area che voglio calcolare, come faccio a capire che $S−R$ è proprio quell'integrale?

Qual è l'interpretazione geometrica dell'integrale definito di una funzione positiva?

Inoltre, l'estremo inferiore d'integrazione si calcola in maniera abbastanza evidente, trovando l'intersezione dell'iperbole di equazione $xy=t$ e della retta di equazione $y=1$.

E come mi spiego poi il risultato diverso dalla soluzione che mi è stata fornita?

Se non scrivi qual è il risultato che ti hanno fornito, è un po' difficile fare confronti.

EDIT: Ovviamente mi ero perso un post...
Beh, semplicemente avevo sbaglito a scrivere.
Hai:
\[
\begin{split}
A &= t + \int_t^1 \frac{t}{x}\ \text{d} x \\
&= t + t\log |x|\Big|_t^1\\
&= t - t\log |t|\\
&= t - t\log t
\end{split}
\]
e ti trovi.

P.S.: Ti consiglio vivamente una veloce ripetizione di Analisi I e II.

[moari]

"tommik":[quote="moari"]Credo di non aver capito benissimo, quello che mi sconcerta è che la soluzione che il mio prof riporta è "tramite calcoli elementari ne viene $ t-tlogt $"

ci sono vari modi di risolverlo....è un problema elementare.....io sono arrivato fino alla densità, pensavo che l'integrale finale fossi in grado da solo di farlo.....anyway...

$int_(0)^(t)-logzdz=-[zlogz]_(0)^(t)-int_(0)^(t)dz]=t-tlogt$[/quote]
Non avevo capito che il tuo procedimento portasse alla densità, in realtà non ho mai visto adottare un procedimento simile nella mia breve esperienza

"gugo82":

Se $S$ è l'area che voglio calcolare, come faccio a capire che $S−R$ è proprio quell'integrale?

Qual è l'interpretazione geometrica dell'integrale definito di una funzione positiva?

Inoltre, l'estremo inferiore d'integrazione si calcola in maniera abbastanza evidente, trovando l'intersezione dell'iperbole di equazione $xy=t$ e della retta di equazione $y=1$.

E come mi spiego poi il risultato diverso dalla soluzione che mi è stata fornita?

Se non scrivi qual è il risultato che ti hanno fornito, è un po' difficile fare confronti.

Il risultato l'ho riportato qualche messaggio più in alto... Quello che non mi è chiaro non è il perché dell'integrale, ma come posso giustificare l'integrando $ 1/x $

[gugo82]

Avevo sbagliato a scrivere.
Ho corretto entrambi i miei post... Buttaci di nuovo uno sguardo.

[moari]

"gugo82":Avevo sbagliato a scrivere.
Ho corretto entrambi i miei post... Buttaci di nuovo uno sguardo.

Grazie ora torna, ma chiedo perdono per aver bisogno di un altro chiarimento ancora. Sarà l'orario, vedendo l'integrale riesco a giustificare gli estremi ma ancora non riesco a spiegarmi la funzione integranda... Mi dispiace molto essere così stupido

[gugo82]

Evabbé, te l'ho detto... Chiediti qual è l'interpretazione geometrica dell'integrale definito di una funzione positiva.
Roba di Analisi I, che, se studi Matematica, devi conoscere.