Area di una cardioide
Ciao a tutti. mi viene chiesto di calcolare l'area di una cardioide di equazione polare:
$\rho(\theta)=a(1+cos\theta)$, con $\theta in [0,2\pi]$
è giusto considerare l'area come l'integrale: $1/2 \int_{0}^{2\pi}(xdy-ydx)$
dove
$x(\theta)=cos(\theta)a(1+cos\theta)$
$x(\theta)=sen(\theta)a(1+cos\theta)$
e quindi
$1/2 \int_{0}^{2\pi}(cos(\theta)a(1+cos\theta)(acos\theta+acos\theta^2-asen\theta^2)-sen(\theta)a(1+cos\theta)(-asen(\theta)-2asen(\theta)cos(\theta))d\theta)$
?
Grazie per la vostra disponibilità e buona domenica
$\rho(\theta)=a(1+cos\theta)$, con $\theta in [0,2\pi]$
è giusto considerare l'area come l'integrale: $1/2 \int_{0}^{2\pi}(xdy-ydx)$
dove
$x(\theta)=cos(\theta)a(1+cos\theta)$
$x(\theta)=sen(\theta)a(1+cos\theta)$
e quindi
$1/2 \int_{0}^{2\pi}(cos(\theta)a(1+cos\theta)(acos\theta+acos\theta^2-asen\theta^2)-sen(\theta)a(1+cos\theta)(-asen(\theta)-2asen(\theta)cos(\theta))d\theta)$
?
Grazie per la vostra disponibilità e buona domenica
Risposte
L'impostazione dell'esercizio mi sembra corretta: le equazioni parametriche sono le seguenti:
$x[\theta]=a \cos[\theta] (1+\cos[\theta])$
$y[\theta]=a \sin[\theta] (1+ \cos[\theta])$
quindi:
$x dy -y dx= -a (1 + \cos[\theta]) \sin[\theta] (-a (1 + \cos[\theta]) \sin[\theta] - a \cos[\theta] \sin[\theta]) + $
$+ a (1 + \cos[\theta]) \cos[\theta] (a (1 + \cos[\theta]) \cos[\theta] - a \sin[\theta]^2)$
che si riduce a:
$\frac{1}{2} (3 a^2 + 4 a^2 \cos[\theta] + a^2 \cos[2 \theta])$.
L'integrale:
$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2} (3 a^2 + 4 a^2 \cos[\theta] + a^2 \cos[2 \theta])=$
$=4a^2( \frac {3 \theta}{8} + \frac{ \sin[\theta]}{2} + \frac{1}{16} \sin[2 \theta])$
da calcolare tra $0$ e $2 \pi$.
$x[\theta]=a \cos[\theta] (1+\cos[\theta])$
$y[\theta]=a \sin[\theta] (1+ \cos[\theta])$
quindi:
$x dy -y dx= -a (1 + \cos[\theta]) \sin[\theta] (-a (1 + \cos[\theta]) \sin[\theta] - a \cos[\theta] \sin[\theta]) + $
$+ a (1 + \cos[\theta]) \cos[\theta] (a (1 + \cos[\theta]) \cos[\theta] - a \sin[\theta]^2)$
che si riduce a:
$\frac{1}{2} (3 a^2 + 4 a^2 \cos[\theta] + a^2 \cos[2 \theta])$.
L'integrale:
$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2} (3 a^2 + 4 a^2 \cos[\theta] + a^2 \cos[2 \theta])=$
$=4a^2( \frac {3 \theta}{8} + \frac{ \sin[\theta]}{2} + \frac{1}{16} \sin[2 \theta])$
da calcolare tra $0$ e $2 \pi$.
Comunque è più agevole fare i conti in coordinate polari, infatti devi calcolare l'integrale:
$\int \int \rho \drho d \theta $
( il $\rho$ deriva dal fatto che l'elemento di area in coordinate polari si
esprime come $dA= |J|d\rho d\theta$ dove $|J|$ è ovviamente la Jacobiana.)
Integro la prima volta:
$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho^2 [\theta] d \theta $.
Sappiamo che $\rho{[\theta]}=a{1+(\cos[\theta])}$
quindi $\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho^2 [\theta] d \theta = \frac {1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2(1+(\cos[\theta]))^2 d\theta =$
$= a^2 \frac {1}{2} (\frac{(3 \theta)}{2} + 2 \sin[\theta] + \frac{1}{4} \sin[2 \theta]) $ da calcolare tra $0$ e $2\pi$.
$\int \int \rho \drho d \theta $
( il $\rho$ deriva dal fatto che l'elemento di area in coordinate polari si
esprime come $dA= |J|d\rho d\theta$ dove $|J|$ è ovviamente la Jacobiana.)
Integro la prima volta:
$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho^2 [\theta] d \theta $.
Sappiamo che $\rho{[\theta]}=a{1+(\cos[\theta])}$
quindi $\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho^2 [\theta] d \theta = \frac {1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2(1+(\cos[\theta]))^2 d\theta =$
$= a^2 \frac {1}{2} (\frac{(3 \theta)}{2} + 2 \sin[\theta] + \frac{1}{4} \sin[2 \theta]) $ da calcolare tra $0$ e $2\pi$.
Scusa Clorinda, non ho ben capito. Praticamente tu hai usato la formula che mi dice che l'area è uguale all'integrale doppio di uno?
Ti riferisci alla formula
$\int\int\rho d\rho d\theta$?
Se sì, essa è l'equivalente in coordinate polari di
$\int \int_A f(x,y) dxdy$ dove $f(x,y)=1$ e $A$ indica il dominio che descrive l'area.
[size=85]ADD: la formula che tu avevi utilizzato all'inizio:
$\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\pi (xdy-ydx)$
è conseguenza del teorema di Gauss Green che consiste nel calcolare l'area del dominio $A$ come integrale di linea lungo il bordo del dominio.[/size]
$\int\int\rho d\rho d\theta$?
Se sì, essa è l'equivalente in coordinate polari di
$\int \int_A f(x,y) dxdy$ dove $f(x,y)=1$ e $A$ indica il dominio che descrive l'area.
[size=85]ADD: la formula che tu avevi utilizzato all'inizio:
$\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\pi (xdy-ydx)$
è conseguenza del teorema di Gauss Green che consiste nel calcolare l'area del dominio $A$ come integrale di linea lungo il bordo del dominio.[/size]
e un mezzo deriva dall'integrazione di $\rho$ per $d\rho$ indefinita?!
Direi di sì, perché $\int_{a}^{b} \rho d\rho = \frac{1}{2} \rho^2 |_{a}^{b}!$ 
ok grazie mille
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