Area di un grafico ristretta ad un dominio
Buongiorno,
ho difficoltà a risolvere questo esercizio:
"L'area del grafico di f(x,y)=xy, ristretta al dominio $ {x^2+y^2<=4} $ , è ..."
Ho proceduto in questo modo: ho usato le coordinate polari per cui l'integrale doppio risulta essere il seguente (dove c'è un $ rho $ in più per il pagamento):
$ int int_(0)^(2pi)rho ^3sin theta cos theta d theta drho $
(non riesco a mettere gli estremi all'integrale più esterno ma sono 0 e 2 per $ rho $ )
ora risolvendo la parte $ sin theta cos theta $ questo integrale viene a valere 0, quando la soluzione dovrebbe essere $ 2pi(5sqrt(5)-1)/3 $ .
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato per piacere? Il calcolo penso di averlo fatto correttamente forse il metodo di soluzione è errato. Ad ogni modo grazie in anticipo a chiunque risponderà.
ho difficoltà a risolvere questo esercizio:
"L'area del grafico di f(x,y)=xy, ristretta al dominio $ {x^2+y^2<=4} $ , è ..."
Ho proceduto in questo modo: ho usato le coordinate polari per cui l'integrale doppio risulta essere il seguente (dove c'è un $ rho $ in più per il pagamento):
$ int int_(0)^(2pi)rho ^3sin theta cos theta d theta drho $
(non riesco a mettere gli estremi all'integrale più esterno ma sono 0 e 2 per $ rho $ )
ora risolvendo la parte $ sin theta cos theta $ questo integrale viene a valere 0, quando la soluzione dovrebbe essere $ 2pi(5sqrt(5)-1)/3 $ .
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato per piacere? Il calcolo penso di averlo fatto correttamente forse il metodo di soluzione è errato. Ad ogni modo grazie in anticipo a chiunque risponderà.
Risposte
Ciao hange,
La domanda mi pare piuttosto mal posta:
Che cosa significa?
Sì, quell'integrale è nullo.
Direi senz'altro: se fai l'integrale doppio di una funzione diversa da $1$ come quella in esame non ti viene fuori un'area, ma un volume...
D'altronde la funzione $z = f(x, y) = xy $ ha dominio $D = \RR^2 $ e ha le seguenti notevoli proprietà di simmetria:
$f(-x, -y) = f(x, y) $
$f(-x, y) = - f(x,y) = f(x, - y) $
Pertanto l'integrale che hai scritto sarebbe stato nullo comunque, indipendentemente dal valore di $\rho $.
La domanda mi pare piuttosto mal posta:
"hange":
L'area del grafico di $f(x,y)=xy$, ristretta al dominio ${x^2+y^2 <= 4} $, è...
Che cosa significa?
"hange":
Il calcolo penso di averlo fatto correttamente
Sì, quell'integrale è nullo.
"hange":
forse il metodo di soluzione è errato
Direi senz'altro: se fai l'integrale doppio di una funzione diversa da $1$ come quella in esame non ti viene fuori un'area, ma un volume...
D'altronde la funzione $z = f(x, y) = xy $ ha dominio $D = \RR^2 $ e ha le seguenti notevoli proprietà di simmetria:
$f(-x, -y) = f(x, y) $
$f(-x, y) = - f(x,y) = f(x, - y) $
Pertanto l'integrale che hai scritto sarebbe stato nullo comunque, indipendentemente dal valore di $\rho $.
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