Area di un dominio di Green - Dimostrazione
Ciao a tutti, sono alle prese con una dimostrazione che nonostante occupi 1 riga e mezza, non riesco a collegarne la parti.
Si tratta della formula dell' area di un dominio di Green. Si afferma che dato un domino di Green $\Omega$, per ogni $\lambda, u$ tali che $\lambda + u = 1$ si ha: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) xdy = -\int_(\partial\Omega+) ydx = \int_(\partial\Omega+) \lambdaxdy - uydx$
Ora, ho la dimostrazione sul quaderno ma l' ho scritta piuttosto male..
Prova a scriverla:
Si applicano le formule di Green ad $f(x,y)$, prima con $f(x,y) = x$ e poi con $f(x,y) = y$ ottenendo: $\int\int_Omega f_xdxdy = \int_(\partial\Omega+)fdy$ (con $f(x,y) = x$)
mentre per $f(x,y) = y$ si ha: $\int\int_Omega f_ydxdy = - \int_(\partial\Omega+)fdx
E da qui si passa subito a dire: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) xdy = -\int_(\partial\Omega+) ydx$ e non capisco proprio come ci si arrivi così direttamente, non mi pare proprio un passaggio così immediato.
Poi si consifderano le 2 costanti $\lambda, u$, e si molplicano rispettivamente ad $f(x,y) = x$, e ad $f(x,y) = y$
Si applica di nuovo il ragionamento di prima e in un attimo si arriva a: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) \lambdaxdy - uydx$
Si tratta della formula dell' area di un dominio di Green. Si afferma che dato un domino di Green $\Omega$, per ogni $\lambda, u$ tali che $\lambda + u = 1$ si ha: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) xdy = -\int_(\partial\Omega+) ydx = \int_(\partial\Omega+) \lambdaxdy - uydx$
Ora, ho la dimostrazione sul quaderno ma l' ho scritta piuttosto male..
Prova a scriverla:
Si applicano le formule di Green ad $f(x,y)$, prima con $f(x,y) = x$ e poi con $f(x,y) = y$ ottenendo: $\int\int_Omega f_xdxdy = \int_(\partial\Omega+)fdy$ (con $f(x,y) = x$)
mentre per $f(x,y) = y$ si ha: $\int\int_Omega f_ydxdy = - \int_(\partial\Omega+)fdx
E da qui si passa subito a dire: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) xdy = -\int_(\partial\Omega+) ydx$ e non capisco proprio come ci si arrivi così direttamente, non mi pare proprio un passaggio così immediato.
Poi si consifderano le 2 costanti $\lambda, u$, e si molplicano rispettivamente ad $f(x,y) = x$, e ad $f(x,y) = y$
Si applica di nuovo il ragionamento di prima e in un attimo si arriva a: $|\Omega| = \int_(\partial\Omega+) \lambdaxdy - uydx$
Risposte
scusate se faccio l' Up ma è piuttosto urgente, e non ho trovato ancora nulla.. 
Risulta:
[tex]$|\Omega| =\int_\Omega 1\ \text{d} x\text{d} y= -\int_{+\partial \Omega} y\ \text{d} x =\int_{+\partial \Omega} x\ \text{d} y$[/tex] (formule di Green)
perchè puoi pensare [tex]$1$[/tex] come derivata parziale rispetto ad [tex]$y$[/tex] della funzione [tex]$f(x,y)=y$[/tex] e come derivata parziale rispetto a [tex]$x$[/tex] della funzione [tex]$g(x,y)=x$[/tex].
A questo punto, preso [tex]$\lambda \in [0,1]$[/tex] (N.B.: quella [tex]$u$[/tex] è inutile, giacché da [tex]$\lambda +u=1$[/tex] segue immediatamente che [tex]$u=1-\lambda$[/tex], quindi fissato [tex]$\lambda$[/tex] non hai nessun grado di libertà nella scelta di [tex]$u$[/tex]) si ha:
[tex]$|\Omega|=\lambda |\Omega| +(1-\lambda) |\Omega| = \lambda \int_{+\partial \Omega} x\ \text{d} y +(1-\lambda) \int_{+\partial \Omega} -y\ \text{d} x= \int_{+\partial \Omega} \lambda\ x\ \text{d} y -(1-\lambda)\ y\ \text{d} x$[/tex].
[tex]$|\Omega| =\int_\Omega 1\ \text{d} x\text{d} y= -\int_{+\partial \Omega} y\ \text{d} x =\int_{+\partial \Omega} x\ \text{d} y$[/tex] (formule di Green)
perchè puoi pensare [tex]$1$[/tex] come derivata parziale rispetto ad [tex]$y$[/tex] della funzione [tex]$f(x,y)=y$[/tex] e come derivata parziale rispetto a [tex]$x$[/tex] della funzione [tex]$g(x,y)=x$[/tex].
A questo punto, preso [tex]$\lambda \in [0,1]$[/tex] (N.B.: quella [tex]$u$[/tex] è inutile, giacché da [tex]$\lambda +u=1$[/tex] segue immediatamente che [tex]$u=1-\lambda$[/tex], quindi fissato [tex]$\lambda$[/tex] non hai nessun grado di libertà nella scelta di [tex]$u$[/tex]) si ha:
[tex]$|\Omega|=\lambda |\Omega| +(1-\lambda) |\Omega| = \lambda \int_{+\partial \Omega} x\ \text{d} y +(1-\lambda) \int_{+\partial \Omega} -y\ \text{d} x= \int_{+\partial \Omega} \lambda\ x\ \text{d} y -(1-\lambda)\ y\ \text{d} x$[/tex].
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