Area della porzione di una superficie [Analisi 2]
Buonasera,
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio di Analisi 2 sugli integrali di superficie?
"Calcola l'area della porzione di superficie $ z^2+y^2=1 $ interna al cilindro $ x^2+y^2=1 $”
Purtroppo nelle esercitazioni all'universitá questa tipologia non è stata trattata, quindi non so bene come impostarla.
Mi è parso di capire che occorre esprimere la superficie in forma parametrica; nel caso in esame è giusto dire che
$ { (y=cost ),( z=sint),( x=h ):}$ con $ t in (0,2pi) $ ?
Ho poi determinato la condizione su h in questo modo
$ x^2+y^2 < 1 $
$ h^2+cos^2t< 1$
$ 0< h< sin^2t $
da cui
$ gamma (h,t)= (h, cost, sin t) $
e
$ N(h,t)=(partialgamma)/(partial h)xx (partial gamma)/(partial t) = (0, -cost, -sint) $
a questo punto ho calcoloato la norma di $ N(h,t) $
$ ||N(h,t)||=1 $
E quindi
$ A = int_(0)^(2pi) int_(0)^(sint) dh dt $
Il risultato è $ 8 $ ma ovviamente non mi trovo
Il mio è stato un tentativo di risoluzione ed è per questo vi chiedo una correzione se fosse possibile, anche perchè
avere una risposta potrebbe essere una base da cui partire anche per capire come impostare gli altri esercizi della stessa tipologia.
C'è qualcuno di buon cuore che potrebbe aiutarmi?
Ve ne sarei immensamente grata
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio di Analisi 2 sugli integrali di superficie?
"Calcola l'area della porzione di superficie $ z^2+y^2=1 $ interna al cilindro $ x^2+y^2=1 $”
Purtroppo nelle esercitazioni all'universitá questa tipologia non è stata trattata, quindi non so bene come impostarla.
Mi è parso di capire che occorre esprimere la superficie in forma parametrica; nel caso in esame è giusto dire che
$ { (y=cost ),( z=sint),( x=h ):}$ con $ t in (0,2pi) $ ?
Ho poi determinato la condizione su h in questo modo
$ x^2+y^2 < 1 $
$ h^2+cos^2t< 1$
$ 0< h< sin^2t $
da cui
$ gamma (h,t)= (h, cost, sin t) $
e
$ N(h,t)=(partialgamma)/(partial h)xx (partial gamma)/(partial t) = (0, -cost, -sint) $
a questo punto ho calcoloato la norma di $ N(h,t) $
$ ||N(h,t)||=1 $
E quindi
$ A = int_(0)^(2pi) int_(0)^(sint) dh dt $
Il risultato è $ 8 $ ma ovviamente non mi trovo
Il mio è stato un tentativo di risoluzione ed è per questo vi chiedo una correzione se fosse possibile, anche perchè
avere una risposta potrebbe essere una base da cui partire anche per capire come impostare gli altri esercizi della stessa tipologia.
C'è qualcuno di buon cuore che potrebbe aiutarmi?
Ve ne sarei immensamente grata
Risposte
Ciao fifty_50,
Adesso vado un po' di fretta, ma magari più tardi se ho un po' di tempo ti prometto di provarci...
"fifty_50":
Il risultato è $8$ ma ovviamente non mi trovo
Adesso vado un po' di fretta, ma magari più tardi se ho un po' di tempo ti prometto di provarci...
"pilloeffe":
Ciao fifty_50,
[quote="fifty_50"]Il risultato è $8$ ma ovviamente non mi trovo
Adesso vado un po' di fretta, ma magari più tardi se ho un po' di tempo ti prometto di provarci...
[/quote]Ciao pilloeffe, ti ringrazio molto.
Allora resto in attesa di una tua risposta!
Eccomi qua, ora forse ce la faccio...
Innanzitutto devo dirti che il tuo tentativo di soluzione non può funzionare perché $z$ non è costante, ma funzione di $y$, infatti $z^2 + y^2 = 1 $ che in coordinate polari verrebbe qualcosa di un po' bruttino...
Mi è sembrato un po' più semplice ragionare in questo modo: si tratta di due cilindri, uno $x^2 + y^2 <= 1 $ avente asse $z$ e l'altro $z^2 + y^2 = 1 $ avente asse $x$, che si intersecano, quindi la figura che ne risulta ha una certa simmetria che si può sfruttare considerando solo i valori positivi di $z$, ma raddoppiando poi l'integrale che è quindi il seguente:
$ S = 2 \int\int_D \sqrt{1 + ((\del f)/(\del x))^2 + ((\del f)/(\del y))^2}\text{d}x \text{d}y $
ove $z := f(x, y) = \sqrt{1 - y^2} $ e $ - 1 <= y <= 1 $
Dopo qualche calcolo non difficile si ha:
$ S = 2 \int\int_D \sqrt{1 + ((\del f)/(\del x))^2 + ((\del f)/(\del y))^2}\text{d}x \text{d}y = ... = 2 \int\int_D 1/\sqrt{1 - y^2} \text{d}x \text{d}y = $
$ = 2 \int_{- 1}^1 1/\sqrt{1 - y^2} (\int_{- \sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} \text{d}x) \text{d}y = 2 \int_{- 1}^1 2 \text{d}y = 4 \int_{- 1}^1 \text{d}y = 8 $
Innanzitutto devo dirti che il tuo tentativo di soluzione non può funzionare perché $z$ non è costante, ma funzione di $y$, infatti $z^2 + y^2 = 1 $ che in coordinate polari verrebbe qualcosa di un po' bruttino...
Mi è sembrato un po' più semplice ragionare in questo modo: si tratta di due cilindri, uno $x^2 + y^2 <= 1 $ avente asse $z$ e l'altro $z^2 + y^2 = 1 $ avente asse $x$, che si intersecano, quindi la figura che ne risulta ha una certa simmetria che si può sfruttare considerando solo i valori positivi di $z$, ma raddoppiando poi l'integrale che è quindi il seguente:
$ S = 2 \int\int_D \sqrt{1 + ((\del f)/(\del x))^2 + ((\del f)/(\del y))^2}\text{d}x \text{d}y $
ove $z := f(x, y) = \sqrt{1 - y^2} $ e $ - 1 <= y <= 1 $
Dopo qualche calcolo non difficile si ha:
$ S = 2 \int\int_D \sqrt{1 + ((\del f)/(\del x))^2 + ((\del f)/(\del y))^2}\text{d}x \text{d}y = ... = 2 \int\int_D 1/\sqrt{1 - y^2} \text{d}x \text{d}y = $
$ = 2 \int_{- 1}^1 1/\sqrt{1 - y^2} (\int_{- \sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} \text{d}x) \text{d}y = 2 \int_{- 1}^1 2 \text{d}y = 4 \int_{- 1}^1 \text{d}y = 8 $
Allora se ho capito bene calcolo l’area della superficie moltiplicando per 2 l’integrale in virtù della simmetria, è corretto?
Comunque grazie mille davvero, sei stato gentilissimo!
Comunque grazie mille davvero, sei stato gentilissimo!
"fifty_50":
Allora se ho capito bene calcolo l’area della superficie moltiplicando per 2 l’integrale in virtù della simmetria, è corretto?
Certo, perché da $z^2 + y^2 = 1 \implies z^2 = 1 - y^2 \implies z = \pm \sqrt{1 - y^2} $
A questo punto abbiamo scelto la soluzione positiva ponendo $z := f(x,y) = \sqrt{1 - y^2} $, ma non possiamo ignorare che esista anche quella negativa (dato che nulla ci dice che $ z >= 0 $), quindi dobbiamo pur tenerne conto...
"fifty_50":
Comunque grazie mille davvero, sei stato gentilissimo!
Prego!
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