Area del sottografico del seno

[rombo1]

Sia l'area del sottografico della funzione seno definito come:

$\int_{0}^{2pi} |\sin(t)|dt = 4$ oppure $\int_{0}^{pi} \sin(t)dt = 2$

perché risulta proprio $4$ o $2$?

Domanda forse banale od imbarazzante per il livello, ma che non ho trovato risposta, sempre che ci sia (oltre l'ovvia applicazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale).
Al docente a cui ho posto tale domanda, scartando le banali giustificazioni geometriche che gli ho proposto, mi ha risposto che non ha una "motivazione elementare"; quindi deduco che per il livello degli argomenti di Analisi 1 non si possa andare oltre il Terema F.C.I.
Quindi, se c'è una motivazione, dove va cercata? introducendo definizioni di misura e distanza?

Grazie

[otta96]

Perché cerchi una giustificazione diversa da quella che ti dà il T. F. C. I? Cos'ha che non va secondo te?

[pilloeffe]

Ciao rombo,

Non sono sicurissimo di aver capito la domanda, ma ci provo...
Partiamo dal secondo che è più semplice e ci torna utile per il primo. Si ha:

$\int_{0}^{\pi} \sin(t)dt = [-cos t]_0^{\pi} = - cos\pi + cos 0 = - (-1) + 1 = 2 $

Per quanto riguarda il secondo, tenendo presente che per la definizione di modulo o valore assoluto

$|sin(t)| := {(sin(t) text{ per } sin(t) >= 0),(- sin(t) text{ per } sin(t) < 0):} $

si ha:

$ \int_{0}^{2\pi} |\sin(t)|dt = \int_{0}^{\pi} \sin(t) dt + \int_{\pi}^{2\pi} -\sin(t) dt = 2 + [cos(t)]_{\pi}^{2\pi} = $
$ = 2 + [cos(2\pi) - cos(\pi)] = 2 + [1 - (- 1)] = 2 + 2 = 4 $

[feddy]

@pilloeffe credo cerchi una spiegazione del motivo per cui i due risultati sono proprio numeri naturali, senza l'utilizzo del TFCI.

[pilloeffe]

"feddy":credo cerchi una spiegazione del motivo per cui i due risultati sono proprio numeri naturali, senza l'utilizzo del TFCI.

Ah ok, grazie feddy!
Si può dimostrare che si ha $\int_{0}^{\pi} \sin(t)dt = 2 $ sfruttando la definizione di integrale, ma se non ricordo male la faccenda è un po' "calcolosa", se riesco posto qualcosa più tardi, sempre se può andare bene fare uso della definizione di integrale...

Eccomi qua... Si ha:

$ \int_{0}^{\pi} \sin(t)dt = \lim_{n \to +\infty}\sum_{i=1}^n sin(i \Delta x) \Delta x $

ove $\Delta x = \pi/n $. Ricordando la formula di prostaferesi

$ cos(\beta) - cos(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) $

ponendo $\beta := \frac{2i-1}{2}\Delta x $ e $\alpha := \frac{2i+1}{2}\Delta x $ si ottiene:

$ cos(\frac{2i-1}{2}\Delta x) - cos(\frac{2i+1}{2}\Delta x) = 2 sin(i \Delta x)\sin(\frac{\Delta x}{2}) $

da cui $ sin(i \Delta x)= \frac{cos(\frac{2i-1}{2}\Delta x) - cos(\frac{2i+1}{2}\Delta x)}{2 sin(\frac{\Delta x}{2})} $

Perciò ricordando che $\Delta x = \pi/n $ si ha:

$ \int_{0}^{\pi} \sin(t)dt = \lim_{n \to +\infty}\sum_{i=1}^n sin(i \Delta x) \Delta x = \lim_{n \to +\infty} \frac{\pi/(2n)}{sin(\pi/(2n))}\sum_{i=1}^n [cos((2i-1)\pi/(2n)) - cos((2i+1)\pi/(2n))] $

Quest'ultima somma è telescopica, per cui si ha:

$ \int_{0}^{\pi} \sin(t)dt = \lim_{n \to +\infty} \frac{\pi/(2n)}{sin(\pi/(2n))}\sum_{i=1}^n [cos((2i-1)\pi/(2n)) - cos((2i+1)\pi/(2n))] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{\pi/(2n)}{sin(\pi/(2n))} \cdot [cos(\pi/(2n)) - cos(\frac{2n+1}{2n} \pi)] = 1 \cdot [cos(0) - cos(\pi)] = 1 \cdot [1 - (-1)] = 2 $