Area del piano compresa tra i grafici di due funzioni

[jigen45]

Ciao ragazzi, potete vedere se il risultato è corretto? Ringrazio in anticipo!

Esercizio: Determinare graficamente la regione del piano compresa tra i grafici delle funzioni

$ f(x) = x^2/4 $ e $ g(x)=4/(6+x^2) $

Per trovare i punti di intersezione pongo $ f(x) = g(x) $:

$ x^2/4=4/(6+x^2) $

$ x^2/4-4/(6+x^2)=0 $

$ (6x^2+x^4-16)/(4(6+x^2))=0 $

$ N: x^4+6x^2-16=0 $

$ t=x^2 $

$ t^2 + 6t -16 =0 $

[tex]\triangle=36+64=100[/tex]

$ t_(1,2)=-(6+- 10)/2 $

$ t_1=-8 $ non accettabile in R

\( t_{2} = 2 \Longrightarrow x^2=2 \)

$ x_1=-sqrt(2) $

$ x_2=sqrt(2) $

\( D \neq 0 \Longrightarrow4(6+x^2) \neq0 \quad \forall x \epsilon R \)

Mediante la tabella dei valori realizzo il grafico e osservo che in $ [-sqrt(2], sqrt(2)] $

$ g(x) >= f(x) $

Quindi:

$ int_-sqrt(2)^sqrt(2)|(f(x) -g(x))|dx= $

$ =2int_0^sqrt(2)(g(x)-f(x))dx= $

$ =2int_0^sqrt(2)(4/(6+x^2)-x^2/4)dx= $

$ =8int_0^sqrt(2)1/(6+x^2)dx-1/2int_0^sqrt(2)x^2dx= $

Considero l'integrale $ int1/(6+x^2)dx $

$ int1/(6+x^2)dx =int1/(6(1+x^2/6))dx= $

$ =1/6int1/(1+x^2/6)dx= $

$ =1/6int1/(1+(x/sqrt(6))^2)dx= $

$ =1/sqrt6arctan(x/sqrt(6))+C $

Quindi:

$ =8[1/sqrt(6)arctan(x/sqrt(6))]_0^sqrt(2)-1/2[x^3/3]_0^sqrt(2)= $

$ =8/sqrt(6)[arctan(x/sqrt(6))]_0^sqrt(2)-1/6[x^3]_0^sqrt(2)= $

$ =8/sqrt(6)arctan(sqrt(3)/3)-2/3pi-(sqrt(2))^3/6= $

$ =4/3sqrt(6)arctan(sqrt(3)/3)-2/3pi-sqrt(2)/3 $

[Quinzio]

Nella penultima riga da dove viene fuori il $-2/3\pi$ ?

[jigen45]

Credo di aver dimenticato $ sqrt(6) $ al numeratore quando ho razionalizzato.. Giusto?....

[Quinzio]

Non capisco perchè ci sono 3 addendi.
L'arcotangente nello zero vale zero, e $x^3$ in zero è zero.
Ci dovrebbero essere 2 addendi.

[jigen45]

Hai ragione, mi sono confuso.. chiedo venia Grazie mille per la dritta