Area con integrali

[Yuuki Kuran]

Ho difficoltà a risolvere l'area di questo problema:
Si scelga $k in (0,1)$ in modo tale che le aree delle regioni piane $R_1$ e $R_2$ risultino uguali:
$R_1={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=k<1, 0<=y<=x/(1+x^2)}$ e $R_2={(x,y in RR^2 : 0
Posto anche il risultato : $k=sqrt(sqrt2-1)$


Il mio procedimento:
intanto cerco di risolvere l'integrale cioè $intx/(1+x^2)dx=1/2int(2x)/(1+x^2)dx=1/2log(1+x^2)$

Adesso procedo con le aree di :
$R_1$:
$1/2log(1+x^2)|_0^k=1/2log(1+k^2)$
e di
$R_2$:
$1/2log(1+x^2)|_k^1=1/2log2-1/2log(1+k^2)$

A questo punto eguaglio le aree perché devono essere uguali:
$1/2log(1+k^2)=1/2log2-1/2log(1+k^2)$
e quindi $sqrt(1+k^2)=sqrt2-sqrt(1+k^2)$

[alle.fabbri]

Mi sa che nell'ultimo passaggio c'è qualcosa che tocca......
Se semplifichi moltiplicando per $2$ poi usi la proprietà della somma di logaritmi, cioè $ln a - ln b = ln(a/b)$, dovresti ottenere l'equazione che cerchi.

[adaBTTLS1]

la somma di logaritmi non è il logaritmo della somma!
comunque ti conviene portare al primo membro $-1/2log(1+k^2)$
prova e facci sapere. ciao.

[Yuuki Kuran]

perfetto! ...

Allora ottengo:
$log(1+k^2)+log(1+k^2)=log2$

$log(1+k^2)^2=log2$

$(1+k^2)^2=2$

$k^2=sqrt2-1$ e quindi: $k=sqrt(sqrt2-1)$

Sono caduta (tanto per cambiare) in un bicchier d'acqua!

Grazie 1000 alle.fabbri e adaBTTLS!

[adaBTTLS1]

prego!

[alle.fabbri]

figurati.....
Ciao!