Area con integrale doppio
Calcolare l'area A della conchiglia in Figura delimitata dalla linea di equazione trigonometrica $\rho=\theta$ quando $\theta\in[0,2\pi]$
Io ho fatto
\( \displaystyle \iint dx\cdot dy=\iint\rho \cdot d\rho \cdot d\theta=\intop_{0}^{2\pi}d\theta\intop_{0}^{2\pi}\rho \cdot d\rho=2\pi \left[ \frac{\rho^{2}}{2} \right] _{0}^{2\pi}=4\pi^{3} \)
Il risultato è invece \( \displaystyle \frac{4}{3} \pi^3 \)
Se per favore mi controllate il conto perché mi sto innervosendo .... ho studiato tutta la teoria soffermandomi sulle cose che non capisco fino a capirle e ora mi sto facendo i temi d'esame perché voglio un voto alto ma non mi escono i risultati .... grazie
Io ho fatto
\( \displaystyle \iint dx\cdot dy=\iint\rho \cdot d\rho \cdot d\theta=\intop_{0}^{2\pi}d\theta\intop_{0}^{2\pi}\rho \cdot d\rho=2\pi \left[ \frac{\rho^{2}}{2} \right] _{0}^{2\pi}=4\pi^{3} \)
Il risultato è invece \( \displaystyle \frac{4}{3} \pi^3 \)
Se per favore mi controllate il conto perché mi sto innervosendo .... ho studiato tutta la teoria soffermandomi sulle cose che non capisco fino a capirle e ora mi sto facendo i temi d'esame perché voglio un voto alto ma non mi escono i risultati .... grazie
Risposte
Con le formule di Gauss-Green mi è venuto il risultato che lui dice che viene .... mi spiegate perchè il procedimento che ho seguito all'inizio è sbagliato? Ora con le formule di Gauss-Green con le quali mi è uscito il risultato corretto ho usato:
\( \displaystyle \frac{1}{2} \int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} (x \cdot dy - y \cdot dx) \) con
\( x=\theta cos(\theta) \) e \( y = \theta sin(\theta) \) e i differenziali rispetto a theta di conseguenza.
Perchè il procedimento del mio primo post è sbagliato? Concettualmente e/o calcolisticamente intendo
P.S. aldilà degli estremi di integrazione di theta quando ancora ci sono x e y che è sbagliato e lo so ma è per non appesantire la notazione
\( \displaystyle \frac{1}{2} \int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} (x \cdot dy - y \cdot dx) \) con
\( x=\theta cos(\theta) \) e \( y = \theta sin(\theta) \) e i differenziali rispetto a theta di conseguenza.
Perchè il procedimento del mio primo post è sbagliato? Concettualmente e/o calcolisticamente intendo
P.S. aldilà degli estremi di integrazione di theta quando ancora ci sono x e y che è sbagliato e lo so ma è per non appesantire la notazione
Ciao,Rafa!
Di fatto,nel conto di prima,avevi calcolato l'area della regione di piano descritta dalla coppia $(rhocostheta,rhosentheta)$ al variare di $(rho,theta)$ in $[0,2pi]^2$:
tale figura è il cerchio di centro l'origine e raggio $2pi$,la cui area in effetti è $pi(2pi)^2=4pi^3$...
Saluti dal web.
Edit:
Ergo il problema potrai risolverlo col tuo approccio iniziale solo disponendo d'una corretta formulazione della tua regione "concoidale" in funzione di $rho,theta$!
Di fatto,nel conto di prima,avevi calcolato l'area della regione di piano descritta dalla coppia $(rhocostheta,rhosentheta)$ al variare di $(rho,theta)$ in $[0,2pi]^2$:
tale figura è il cerchio di centro l'origine e raggio $2pi$,la cui area in effetti è $pi(2pi)^2=4pi^3$...
Saluti dal web.
Edit:
Ergo il problema potrai risolverlo col tuo approccio iniziale solo disponendo d'una corretta formulazione della tua regione "concoidale" in funzione di $rho,theta$!
"raffamaiden":
Calcolare l'area A della conchiglia in Figura delimitata dalla linea di equazione trigonometrica $\rho=\theta$ quando $\theta\in[0,2\pi]$
Io ho fatto
\( \displaystyle \iint dx\cdot dy=\iint\rho \cdot d\rho \cdot d\theta=\intop_{0}^{2\pi}d\theta\intop_{0}^{2\pi}\rho \cdot d\rho=2\pi \left[ \frac{\rho^{2}}{2} \right] _{0}^{2\pi}=4\pi^{3} \)
Hai sbagliato qui: infatti, detto \(E\) il tuo insieme, il passaggio in coordinate corretto è:
\[
\iint_E dx\cdot dy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\theta \rho\ \text{d} \rho\; .
\]
Grazie mille theras e gugo82, in effetti \( \rho = \theta \) sul bordo della figura, e quindi \( 0 \le \rho \le \theta \).
Grazie ancora a entrambi
Grazie ancora a entrambi
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