Area con Gauss-Green
Salve ragazzi, devo risolvere il seguente esercizio e non ci capisco molto: "Con le formule di Gauss-green, calcolare l'area di:
$ D -= { (x,y) in cc(R) ^2:x geq 0, x^2+y^2 geq 1, y geq (x-1)^2, yleqx+1 } $"
Io ho pensato di risolverlo applicando la solita formula $ 1/2int_(c)^()xdy-ydx $, parametrizzando la curva. Il problema è che poi non saprei più come andare avanti!
$ D -= { (x,y) in cc(R) ^2:x geq 0, x^2+y^2 geq 1, y geq (x-1)^2, yleqx+1 } $"
Io ho pensato di risolverlo applicando la solita formula $ 1/2int_(c)^()xdy-ydx $, parametrizzando la curva. Il problema è che poi non saprei più come andare avanti!
Risposte
Prima di tutto fai un disegno e renditi conto che il bordo e costituito da 3 differenti curve, ciascuna da parametrizzare (e che conduce al calcolo di 3 diversi intergali). Dopodiché è solo questione di determinare le parametrizzazioni.
Hint: ricorda di calcolare i punti di intersezione di queste curve: essi ti forniscono un'idea di come far variare il parametro $t$ per ciascuna di esse. Inoltre, le parametrizzazioni sono abbastanza standard.
Hint: ricorda di calcolare i punti di intersezione di queste curve: essi ti forniscono un'idea di come far variare il parametro $t$ per ciascuna di esse. Inoltre, le parametrizzazioni sono abbastanza standard.
Grazie per la risposta, Ciampax! Per quanto riguarda le parametrizzazioni, ho proceduto così:
$ x=sintheta,y=costheta, theta in [0,pi/2] $, $ x=t, y=t+1, t in [0,3] $, $ x=3-t, y=4-t, t in [0,3] $.
Adesso cosa dovrei fare? Applicare direttamente la formula sottraendo l'integrale della parabola e del quarto della circonferenza a quello della retta?
$ x=sintheta,y=costheta, theta in [0,pi/2] $, $ x=t, y=t+1, t in [0,3] $, $ x=3-t, y=4-t, t in [0,3] $.
Adesso cosa dovrei fare? Applicare direttamente la formula sottraendo l'integrale della parabola e del quarto della circonferenza a quello della retta?
Mmmm, dunque: la retta e la parabola hanno intersezione in $(3,4)$ (anche in $(0,1)$ ma non ci interessa). Considerato che bisogna parametrizzare il bordo in senso antiorario, io userei queste parametrizzazioni
$ (1)\ x=\sin t,\ y=\cos t,\ t\in[0,\pi/2]$ che parametrizza la circonferenza da $(0,1)$ a $(1,0)$
$ (2)\ x=t,\ y=(t-1)^2,\ t\in[1,3]$ che parametrizza la parabola da $(1,0)$ a $(3,4)$
$ (3)\ x=3-t,\ y=4-t,\ t\in[0,3]$ che parametrizza la retta da $(3,4)$ a $(0,1)$
Così facendo basta sommare i tre integrali sulle curve, per cui
$A=1/2[\int_0^{\pi/2}(-\sin^2 t-\xos^2 t)\ dt+\int_1^3(2t(t-1)-(t-1)^2)\ dt+\int_0^3(-(3-t)+(4-t))\ dt]$
Il resto sono calcoli.
$ (1)\ x=\sin t,\ y=\cos t,\ t\in[0,\pi/2]$ che parametrizza la circonferenza da $(0,1)$ a $(1,0)$
$ (2)\ x=t,\ y=(t-1)^2,\ t\in[1,3]$ che parametrizza la parabola da $(1,0)$ a $(3,4)$
$ (3)\ x=3-t,\ y=4-t,\ t\in[0,3]$ che parametrizza la retta da $(3,4)$ a $(0,1)$
Così facendo basta sommare i tre integrali sulle curve, per cui
$A=1/2[\int_0^{\pi/2}(-\sin^2 t-\xos^2 t)\ dt+\int_1^3(2t(t-1)-(t-1)^2)\ dt+\int_0^3(-(3-t)+(4-t))\ dt]$
Il resto sono calcoli.
Sì, ho parametrizzato come te ma non riesco a capire perché ho scritto nell'altra maniera! Comunque sia adesso mi è chiaro! Un'ultima domanda: bisogna sempre parametrizzare in senso antiorario?
Yes: la formula che stai utilizzando prevede che si percorra il bordo in senso antiorario.
Grazie Ciampax! Allora la parametrizzerò sempre in verso antiorario! Grazie ancora per la tua pazienza...
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