Area compresa fra gli archi di curva di un'equazione
Salve a tutti,
l'esercizio richiede sostanzialmente questo:
Calcolare l'area della regione del piano compresa tra gli assi $x=0$ e $y=0$ ed i primi due archi di curva di equazione:
$2x^2sin(3x)$
So calcolare l'area di una regione compresa fra due grafici, in un determinato intervallo $[a,b]$, tramite la formula:
$\int_a^b [f_1(x)-f_2(x)] dx $
In questo caso però non riesco a capire come determinare le equazioni da utilizzare e gli eventuali estremi.
Avete qualche consiglio da darmi?
Grazie
l'esercizio richiede sostanzialmente questo:
Calcolare l'area della regione del piano compresa tra gli assi $x=0$ e $y=0$ ed i primi due archi di curva di equazione:
$2x^2sin(3x)$
So calcolare l'area di una regione compresa fra due grafici, in un determinato intervallo $[a,b]$, tramite la formula:
$\int_a^b [f_1(x)-f_2(x)] dx $
In questo caso però non riesco a capire come determinare le equazioni da utilizzare e gli eventuali estremi.
Avete qualche consiglio da darmi?
Grazie
Risposte
Traccia un grafico anche molto approssimato della funzione $y=2x^2sin(3x)$ e tutto ti sarà più chiaro.
Determinare ove la curva suddetta taglia l'asse delle x è quasi immediato...
Determinare ove la curva suddetta taglia l'asse delle x è quasi immediato...
Grazie Camillo per il consiglio;
Ho disegnato un grafico.
Una sinusoide di ampiezza $2x^2$, quindi definita fra le parabole $-2x^2$ e $2x^2$
Poichè la pulsazione $\omega$ è pari a $3$, ci saranno $3$ archi nell'intervallo $[0,2\pi]$
Quindi poichè $2\pi/3= 2.1$ ed indica un periodo completo della sinusoide, essa toccherà l'asse delle $x$ a metà del periodo, al periodo stesso, a $3/2$ del periodo, e così via. Cioè:
$x=0$
$x=1.05$ cioè $\pi/3$
$x=2.1$ cioè $2\pi/3$
$x= 3.14$ cioè $\pi$
I primi due archi ricadono nell'intervallo $[0, 2\pi/3]$
Quindi devo considerare il contributo di due aree. Una positiva rispetto alle $y$ e l'altra negativa.
Avrò quindi da calcolare:
Area= $\int_0^(\pi/3) (2x^2sin(3x))dx + \int_(\pi/3)^(2\pi/3) (2x^2sin(3x))dx $
L'area da sottrarre ada entrambi gli integrali è $0$, perchè intersecano l'asse delle $x$.
L'integrale $\int (2x^2sin(3x))dx$ è pari a $-2/3x^2cos(3x)+4/9xsen(3x)+4/27cos(3x)$
calcolato negli estremi viene:
Area= $ {-2/3*(\pi^2/9)cos(\pi)+4/9*\pi/3+4/27cos(\pi) - 4/27} + {-2/3*(4\pi^2/9)cos(2\pi)+4/9*(2\pi/3)+4/27cos(2\pi) - [-2/3*(\pi^2/9)cos(\pi)+4/9*\pi/3+4/27cos(\pi)] } = $
$= -4/27 -2/3*(4\pi^2/9)cos(2\pi)+4/9*(2\pi/3)+4/27cos(2\pi) = 1.51$
Quindi l'area dovrebbe essere pari a $1.51$
E' quindi il giusto procedimento?
Ho disegnato un grafico.
Una sinusoide di ampiezza $2x^2$, quindi definita fra le parabole $-2x^2$ e $2x^2$
Poichè la pulsazione $\omega$ è pari a $3$, ci saranno $3$ archi nell'intervallo $[0,2\pi]$
Quindi poichè $2\pi/3= 2.1$ ed indica un periodo completo della sinusoide, essa toccherà l'asse delle $x$ a metà del periodo, al periodo stesso, a $3/2$ del periodo, e così via. Cioè:
$x=0$
$x=1.05$ cioè $\pi/3$
$x=2.1$ cioè $2\pi/3$
$x= 3.14$ cioè $\pi$
I primi due archi ricadono nell'intervallo $[0, 2\pi/3]$
Quindi devo considerare il contributo di due aree. Una positiva rispetto alle $y$ e l'altra negativa.
Avrò quindi da calcolare:
Area= $\int_0^(\pi/3) (2x^2sin(3x))dx + \int_(\pi/3)^(2\pi/3) (2x^2sin(3x))dx $
L'area da sottrarre ada entrambi gli integrali è $0$, perchè intersecano l'asse delle $x$.
L'integrale $\int (2x^2sin(3x))dx$ è pari a $-2/3x^2cos(3x)+4/9xsen(3x)+4/27cos(3x)$
calcolato negli estremi viene:
Area= $ {-2/3*(\pi^2/9)cos(\pi)+4/9*\pi/3+4/27cos(\pi) - 4/27} + {-2/3*(4\pi^2/9)cos(2\pi)+4/9*(2\pi/3)+4/27cos(2\pi) - [-2/3*(\pi^2/9)cos(\pi)+4/9*\pi/3+4/27cos(\pi)] } = $
$= -4/27 -2/3*(4\pi^2/9)cos(2\pi)+4/9*(2\pi/3)+4/27cos(2\pi) = 1.51$
Quindi l'area dovrebbe essere pari a $1.51$
E' quindi il giusto procedimento?
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