Arco di curva regolare

[mashi1994]

ciao ragazzi! Nella definizione di arco di curva regolare, mi dimentico sempre di sottolineare che $r'(t)!=0$ forse proprio perchè non l'ho capito.

Vi riporto la definizione del mio libro:

sia $I\subseteqR$ un intervallo. Si dice arco di curva regolare un arco di curva $r:I->R^m$ tale che $r\inC^1(I)$ e $r'(t)!=0$ per ogni $t\inI$.

Sapreste cortesemente spiegarmelo?

[gugo82]

Beh, è una definizione, non c’è molto da spiegare… Cosa di preciso non ti suona?

[mashi1994]

"gugo82":Beh, è una definizione, non c’è molto da spiegare… Cosa di preciso non ti suona?

proprio il perchè sia necessario che $r'(t)!=0$

[gugo82]

È la definizione.

[Luca.Lussardi]

Si tratta di una cosa che serve tutte le volte che devi verificare che qualche proprietà geometrica della curva non dipende dalla parametrizzazione: per far questo tipicamente devi cambiare variabile in un integrale e per usare il teorema del cambiamento di variabile ti serve un'invertibiltà.

[anto_zoolander]

Un altro motivo è dato dal fatto che assegni un nome alle curve per cui intuitivamente la velocità non si annulla o che "un omino posto sulla curva la percorra tutta senza mai fermarsi".

[Bokonon]

Il concetto pratico invece è che misuriamo la lunghezza di un arco di curva con pitagora usando per esempio $Deltas=sqrt(Deltax^2+Deltay^2+Deltay^2$
Ma visto che è una pessima approssimazione (a meno che la curva non sia una retta lungo quella direzione) usiamo il calcolo
$ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)$
e grazie alla linearità dell'intorno di un punto (sempre sia benedetta altrimenti sarebbe l'intera idea di calcolo ad andare a farsi benedire) abbiamo stime di archetti infinitesimali...che possiamo sommare.

E se parametrizziamo?
Beh allora diventa $ds=dt/dtsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt=sqrt((x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2)dt=||r^{\prime}(t)||dt$

Ora se si sceglie una parametrizzazione tale che per alcuni t possiamo avere $r^{\prime}(t)=<0,0,0>$, ovvero $||r^{\prime}(t)||=0$ sarebbe perlomeno imbarazzante. Esempio otraggiosamente banale è la curva $y=x$ che possiamo parametrizzare sia con $(t,t)$ che con $(t^3,t^3)$ (senza ambiguità). La prima parametrizzazione ha derivata $(1,1)$ mentre la seconda $(3t^2,3t^2)$ e quindi può diventare $(0,0)$ per $t=0$.
Da qua la necessità di introdurre la definizione di "arco di curva regolare".

P.S. I matematici non farebbero passaggi del genere manco sotto tortura. I fisici e non solo invece li fanno in continuazione e concludono con una presa in giro ai matematici. Non è uno scherzo, ho visto sia Feynman che Susskind farlo...giusto per citarne due.
P.S.2 Riprendendo ciò che ha scritto Anto e usando i due esempi di parametrizzazione di cui sopra, in una parametrizzazione l'omino procede a velocità costante e nell'altra a velocità variabile che diventa zero per t=0.

[gugo82]

Tutto molto bello, ragazzi.
Però state tutti fornendo “interpretazioni” immediate e sensate della condizione \(\mathbf{r}^\prime (t) \neq \mathbf{0}\) che sì, spiegano cosa significhi la condizione di regolarità, ma no, non spiegano perché tale condizione faccia parte della definizione.
Insomma, è un po’ come se spiegaste ad un tipo che non ha capito perché nella definizione di numero pari ci va “$n$ è divisibile per $2$” raccontando perché è importante che un numero sia divisibile per $2$… Che però è una risposta ad un’altra domanda.

Ho appositamente sollecitato lo OP a chiarire cosa non avesse capito della definizione e se davvero non avesse capito la definizione o se non avesse chiaro altro (come ad esempio “a cosa serve” la condizione di regolarità).
Rimango in attesa di una risposta da OP: cosa non ti è chiaro?

[Luca.Lussardi]

Hai ragione, ma, per quanto mi è parso di capire, il nostro amico chiedeva proprio come mai quella condizione è necessaria nella definizione, cioè a cosa serve...

[mashi1994]

"Bokonon":Il concetto pratico invece è che misuriamo la lunghezza di un arco di curva con pitagora usando per esempio $Deltas=sqrt(Deltax^2+Deltay^2+Deltay^2$
Ma visto che è una pessima approssimazione (a meno che la curva non sia una retta lungo quella direzione) usiamo il calcolo
$ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)$
e grazie alla linearità dell'intorno di un punto (sempre sia benedetta altrimenti sarebbe l'intera idea di calcolo ad andare a farsi benedire) abbiamo stime di archetti infinitesimali...che possiamo sommare.

E se parametrizziamo?
Beh allora diventa $ds=dt/dtsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt=sqrt((x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2)dt=||r^{\prime}(t)||dt$

Ora se si sceglie una parametrizzazione tale che per alcuni t possiamo avere $r^{\prime}(t)=<0,0,0>$, ovvero $||r^{\prime}(t)||=0$ sarebbe perlomeno imbarazzante. Esempio otraggiosamente banale è la curva $y=x$ che possiamo parametrizzare sia con $(t,t)$ che con $(t^3,t^3)$ (senza ambiguità). La prima parametrizzazione ha derivata $(1,1)$ mentre la seconda $(3t^2,3t^2)$ e quindi può diventare $(0,0)$ per $t=0$.
Da qua la necessità di introdurre la definizione di "arco di curva regolare".

P.S. I matematici non farebbero passaggi del genere manco sotto tortura. I fisici e non solo invece li fanno in continuazione e concludono con una presa in giro ai matematici. Non è uno scherzo, ho visto sia Feynman che Susskind farlo...giusto per citarne due.
P.S.2 Riprendendo ciò che ha scritto Anto e usando i due esempi di parametrizzazione di cui sopra, in una parametrizzazione l'omino procede a velocità costante e nell'altra a velocità variabile che diventa zero per t=0.

Ciao ragazzi! Anzitutto grazie per la nutrita partecipazione.
Si all'inizio pensavo che in quanto cinematicamente $r'(t)$ rappresenta il vettore velocità istantanea, venisse dichiarato che $r'(t)$ dovesse necessariamente essere $!=0$ semplicemente perchè essendo vettore individua per definizione una direzione e questo è valido solo se le sue componenti non sono tutte nulle.
Poi andando a studiare come ricavare la lunghezza di un arco di curva regolare non comprendevo il motivo per cui sarebbe stato un problema che $||r^{\prime}(t)||=0$ , anzi avrebbe semplificato il calcolo portando a definire la lunghezza nulla.
Mi stai dicendo che prendendo una curva non regolare e provando a calcolarne la lunghezza per parametrizzazioni equivalenti in un intervallo $(a,b)->R^m$ potrei avere risultati diversi?
Però non ne sono affatto sicuro l'esempio $y=x$ è una curva regolare per $t\in(1,2)$ mentre non lo è per $t\in(-1,2)$? quindi nel secondo caso non avrebbe senso calcolarne la lunghezza?
Ho risposto a Bokonon perchè mi è stato più facile farlo, però la domanda è estesa a tutti, magari mi avete detto la stessa cosa ma non ho colto!

[anto_zoolander]

Provo a spiegarti il motivo per cui viene richiesta questa condizione di regolarità bypassando l'omino che prima ho tirato in causa

Metto il tutto sotto spoiler perché è lunghetto

In genere affinché tu possa calcolare la lunghezza di una curva $phi:[a,b]->RR^n$ è sufficiente che sia di classe $C^1$, quella condizione di regolarità qui non interviene; può esserlo come non esserlo.

quì puoi notare che la condizione di regolarità non è richiesta

La sua lunghezza, com'è noto, è data da $L(phi)=int_(a)^(b)norm(phi'(t))dt$

prendiamo per esempio la curva $phi(t)=(t,0)$ con $t in [-1,1]$ che risulta essere regolare
La curva è di classe $C^1$ in $[-1,1]$ pertanto si può calcolare la sua lunghezza

$L(phi)=int_(0)^(1)norm(phi'(t))dt=int_(-1)^(1)dt=2$

possiamo usare una parametrizzazione equivalente ponendo $phi(t)=(t^3,0)$ con $t in [0,1]$ e notando che in questo modo si ottiene una curva sempre di classe $C^1$ ma stavolta non regolare in quanto $phi'(t)=(3t^2,0)$ che si annulla per $t=0$

$L(phi)=int_(-1)^(1)norm(3t^2,0)dt=int_(-1)^(1)3t^2dt=t^3|_(-1)^(1)=2$

come puoi notare la lunghezza della curva non è cambiata.

Il motivo per cui bisogna introdurre questa condizione di regolarità è data dal fatto che vogliamo definire il concetto di versore tangente ad una curva

1) per prima cosa è ovvio che per definire $T(t)=(phi'(t))/norm(phi'(t))$ la velocità deve essere sempre non nulla, altrimenti è impossibile definire questo vettore

2) la seconda cosa è che una volta definito $T(t)$ in quel modo esso rimarrebbe legato indirettamente alla velocità con cui la curva viene percorsa, di fatto il versore tangente si muove sulla curva con velocità $norm(phi'(t))$.
Per avere informazioni strettamente geometriche sulla curva la si potrebbe voler riparametrizzare in modo tale da ottenere la stessa curva percorsa però a velocità unitaria.

Immagina di metterti in macchina e percorrere una curva a due velocità differenti; prima molto lentamente e poi molto velocemente, ti ridurresti ad apprezzare la curva in due modi diversi e ti apparirebbe molto "piegata" a velocità alta e quasi lineare a velocità molto bassa.

A questo punto dici: voglio percorrere tutte le curve alla stessa velocità che chiamerò "unitaria" in modo tale da classificarle per mezzo di come apprezzo il suo spiegazzarsi sempre alla stessa velocità.

E' chiaro che per percorrere la curva a velocità unitaria devi poter affrontare tale percorso in modo tale da non fermarti mai, altrimenti se per ogni velocità con cui la percorri sei costretto a fermarti capirai da solo che non potrai classificarla come le altre. Notato questo chiamano "regolari" le curve che ammettono almeno una parametrizzazione per cui la velocità non si annulla mai.

Per queste particolari curve oltre a poter definire la funzione $s(t)=int_(a)^(t)norm(phi'(tau))d tau$ si può notare che la derivata $s'(t)=norm(phi'(t))$ è sempre strettamente positiva facendo sì che

$s:[a,b]->[0,L]$

sia un parametro ammissibile, ossia è un diffeomeomorfismo di intervalli[nota]ovvero una funzione invertibile, differenziabile e con inversa differenziabile[/nota], per cui la curva $psi=phicircs^(-1)$ risulti equivalente a quella data. La funzione $s$ è quella che viene chiamata "parametro ascissa curvilinea"

Ecco quindi che hai trovato una parametrizzazione $psi$ della curva che ti permette di percorrerla a lunghezza unitaria e per fare questo abbiamo chiamato in causa la regolarità con la considerazione che $s'(t)>0$

Puoi passarti il tempo nel dimostrare che la curva $psi$ è percorsa a velocità unitaria

[Fioravante Patrone1]

Il grafico di $y=|x|$, per $x\in [-1,1]$ ti sembra abbia a che fare con l'idea di "curva regolare" (leggasi, a piacimento: traiettoria di un moto regolare, supporto di una curva regolare)?

Se non ti piace, allora ti serve usare quella condizione di cui chiedevi.