Arco di asteroide, problema
Ragazzi scusate ho un problema.
L'esercizio da svolgere è il seguente:
Calcolare il seguente integrale doppio:
$int_(D)xydxdy $ dove D è il dominio,posto nel primo quadrante,limitato agli assi cartesiani e dall arco di asteroide $phi(t)=(rcos^3t;rsen^3t)$ con $tin[0,90], r>0$.Ora come si fa a rappresentare graficamente quell arco di asteroide??? O.o
L'esercizio da svolgere è il seguente:
Calcolare il seguente integrale doppio:
$int_(D)xydxdy $ dove D è il dominio,posto nel primo quadrante,limitato agli assi cartesiani e dall arco di asteroide $phi(t)=(rcos^3t;rsen^3t)$ con $tin[0,90], r>0$.Ora come si fa a rappresentare graficamente quell arco di asteroide??? O.o
Risposte
Perché lo vuoi rappresentare graficamente? Al fine della risoluzione dell'esercizio non ne hai bisogno. Quello che ti serve è il Lemma di Green.
Parli delle formule di gauss-green?
Beh sì, quelle. L'integrale sul dominio equivale all'integrale curvilineo delimitato da quell'arco di curva e dagli assi cartesiani (osserva che il punto iniziale dell'arco è $(1,0)$ mentre quello finale è $(0,1)$).
da cosa hai dedotti il punto iniziale e finale?
Sostituisci $t=0$ e $t=90$ (suppongo sia in gradi). Comunque i punti corretti sono $(r,0),\ (0,r)$, mi ero dimenticato del parametro. Sorry.
non riesco a capire cosa devo fare per risolvere l esercizio. 
Partiamo dalla formula: sappiamo che per il teorema di Green
[tex]$\iint_D (Q_x-P_y)\ dx\ dy=\int_C (P\ dx+Q\ dy)$[/tex] dove [tex]$C=\partial D$[/tex] è il bordo del dominio.
Vediamo come applicare questa formula: per prima cosa, osserva che deve essere [tex]$xy=Q_x-P_y$[/tex]. Dal momento che puoi scegliere le funzioni come ti pare, possiamo tranquillamente porre
[tex]$Q=\frac{x^2 y}{2},\ P=0$[/tex]
da cui ottieni la condizione per l'integrale doppio. Si ha quindi
[tex]$\iint_D xy\ dx\ dy=\frac{1}{2}\int_C x^2 y\ dy$[/tex]
Usiamo ora la parametrizzazione: essendo [tex]$x=r\cos^3 t,\ y=r\sin^3 t,\ t\in[0,\pi/2]$[/tex] si ha [tex]$dy=r\cdot 3\sin^2 t\cdot \cos t\ dt$[/tex]. Questo è quello che serve per il ramo della curva che viene coperto dall'asteroide. Per gli altri due rami (asse x e asse y) si hanno rispettivamente le parametrizzazioni
asse x [tex]$x=t,\ y=0,\ \qquad 0\le t\le r$[/tex] da cui [tex]$x^2y=0,\ dy=0$[/tex]
asse y [tex]$x=0,\ y=r-t,\ \qquad 0\le t\le r$[/tex] da cui [tex]$x^2 y=0,\ dy=-dt$[/tex]
Ne segue che quando andiamo a sostituire per calcolare l'integrale curvilineo, i due integrali sugli assi valgono zero, e quindi basta semplicemente svolgere il calcolo per l'integrale lungo il ramo dell'asteroide. Si ha quindi
[tex]$\iint_D xy\ dx\ dy=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} r^2\cos^6 t\cdot r\sin^3 t\cdot r\cdot 3\sin^2 t\cdot \cos t\ dt=\frac{3r^4}{2}\int_0^{\pi/2} \sin^5 t\ \cos^7 t\ dt$[/tex]
A questo punto è una semplice questione di calcoli.
[tex]$\iint_D (Q_x-P_y)\ dx\ dy=\int_C (P\ dx+Q\ dy)$[/tex] dove [tex]$C=\partial D$[/tex] è il bordo del dominio.
Vediamo come applicare questa formula: per prima cosa, osserva che deve essere [tex]$xy=Q_x-P_y$[/tex]. Dal momento che puoi scegliere le funzioni come ti pare, possiamo tranquillamente porre
[tex]$Q=\frac{x^2 y}{2},\ P=0$[/tex]
da cui ottieni la condizione per l'integrale doppio. Si ha quindi
[tex]$\iint_D xy\ dx\ dy=\frac{1}{2}\int_C x^2 y\ dy$[/tex]
Usiamo ora la parametrizzazione: essendo [tex]$x=r\cos^3 t,\ y=r\sin^3 t,\ t\in[0,\pi/2]$[/tex] si ha [tex]$dy=r\cdot 3\sin^2 t\cdot \cos t\ dt$[/tex]. Questo è quello che serve per il ramo della curva che viene coperto dall'asteroide. Per gli altri due rami (asse x e asse y) si hanno rispettivamente le parametrizzazioni
asse x [tex]$x=t,\ y=0,\ \qquad 0\le t\le r$[/tex] da cui [tex]$x^2y=0,\ dy=0$[/tex]
asse y [tex]$x=0,\ y=r-t,\ \qquad 0\le t\le r$[/tex] da cui [tex]$x^2 y=0,\ dy=-dt$[/tex]
Ne segue che quando andiamo a sostituire per calcolare l'integrale curvilineo, i due integrali sugli assi valgono zero, e quindi basta semplicemente svolgere il calcolo per l'integrale lungo il ramo dell'asteroide. Si ha quindi
[tex]$\iint_D xy\ dx\ dy=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} r^2\cos^6 t\cdot r\sin^3 t\cdot r\cdot 3\sin^2 t\cdot \cos t\ dt=\frac{3r^4}{2}\int_0^{\pi/2} \sin^5 t\ \cos^7 t\ dt$[/tex]
A questo punto è una semplice questione di calcoli.
grazie mille...
l'unica domanda che mi viene è perchè sull asse y, x=0 e y=r-t??
"MILITO1991":
l'unica domanda che mi viene è perchè sull asse y, x=0 e y=r-t??
Mi permetto di rispondere per ciampax.
Perchè il percorso va fatto in senso antiorario. Cioè col parametro $t$ crescente, la curva va percorsa in senso antiorario.
e l'integrale finale come si risolve?
credo di aver risolto, per sostituzione y=senx
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