Arbitrarietà della costante d'integrazione

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti, non riesco a convincermi (anche se probabilmente è banale) del fatto seguente:

Consideriamo l'equazione differenziale lineare del prim'ordine
\[ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t} y + \frac{12}{t^2} \]
Il suo integrale generale è
\[ y(t) = \cases{Ct-\frac{6}{t} && t > 0 \\ C(-t)-\frac{6}{t} && t < 0} \]
A questo punto, il libro di testo (M. Boella, Analisi Matematica 2 - Esercizi, Pearson) dice che per l'arbitrarietà della costante $ C $ possiamo così condensare la scrittura:
\[ y(t) = Ct-\frac{6}{t} \]
valida sia per $ t > 0 $ che per $ t < 0 $.

Chi mi aiuta a convincermi di questa cosa?

[lordb]

Allora secondo me si intende questo:

$y(t)=Ct-6/t$ con $C={(Ctext{ se }t>0),(-Ctext{ se }t<0):}$

[Sk_Anonymous]

Non sono necessarie ulteriori specifiche. Trattandosi di soluzioni non prolungabili, ha senz'altro ragione il testo.

[dissonance]

"lordb":Allora secondo me si intende questo:

$y(t)=Ct-6/t$ con $C={(Ctext{ se }t>0),(-Ctext{ se }t<0):}$

No. Il testo dice una cosa ben diversa da questa. Secondo me, in realtà, c'è un errore di fondo: io NON avrei scritto l'integrale generale così:
\[
y(t) = \cases{Ct-\frac{6}{t} && t > 0 \\ C(-t)-\frac{6}{t} && t < 0}
\]
ma così:
\[
y(t) = \cases{C_1 t-\frac{6}{t} && t > 0 \\ C_2 (-t)-\frac{6}{t} && t < 0}
\]
in modo da avere ben chiaro che le due costanti possono tranquillamente essere diverse. Infatti, la nostra equazione ha una singolarità per \(t=0\) e quindi, di fatto, si scinde in due equazioni differenziali, su due intervalli temporali disgiunti e indipendenti l'una dall'altra.

Ora l'autore osserva che, si, va bene questo discorso, ma se noi - arbitrariamente - decidiamo di allacciare le due costanti \(C_1\) e \(C_2\), otteniamo la famiglia di soluzioni a un solo parametro
\[
y(t) = Ct-\frac{6}{t}.
\]
Queste non sono tutte le soluzioni, ma solo alcune. Queste, precisamente, sono tutte e sole le soluzioni dispari, ovvero le soluzioni tali che
\[
y(-t)=-y(t).\]

[lordb]

@dissonance ma $C$ non può essere semplicemente una funzione costante a tratti ?

[Sk_Anonymous]

"Riccardo Desimini":
A questo punto, il libro di testo (M. Boella, Analisi Matematica 2 - Esercizi, Pearson) dice che per l'arbitrarietà della costante $ C $ possiamo così condensare la scrittura:
\[ y(t) = Ct-\frac{6}{t} \]
valida sia per $ t > 0 $ che per $ t < 0 $.

@dissonance
Hai fatto bene a chiarire. Ho inteso l'affermazione riportata senza il vincolo che la costante fosse la stessa per $[t<0]$ e per $[t>0]$. Certamente, se si interpreta alla lettera, l'affermazione lascia un po' a desiderare. Voglio sperare che l'autore non intendesse fare riferimento a quel vincolo. In ogni modo, mi era sfuggita questa incongruenza di carattere matematico-linguistico. Complimenti.

[dissonance]

@lordb: No, in questi contesti la \(C\) (e le varie \(C_1, C_2, \ldots\)) sono sempre delle costanti.

@speculor: Grazie! Questa delle singolarità è una sottigliezza su cui insisteva molto Fioravante Patrone ed è da lui che ho imparato a farci caso.

[Riccardo Desimini]

Rifletterò su quanto avete scritto, grazie.