Approssimazioni locali in spazi di sobolev

[Fox4]

Teorema:
Se $W^{k,p}(U)$ è lo spazio di Sobolev $k,p$ con $U$ aperto di $\mathbb{R}^n$ e $u\inW^{k,p}(U)$
Allora $u^\epsilon->u$ in $W^{k,p}(V) \ \ \ \forall V\sub\subU$ ($V$ compactly contained in $U$)

$u^\epsilon=\eta_\epsilon * u$ è la mollificazione di $u$ (non sono stato in grado di capire come indicare la convoluzione...) che è definita in $U_\epsilon={x\inU \ |\ dist(x,del U)>\epsilon}$

[edit] $u^\epsilon=\eta_\epsilon ** u$ che è definita in $U_\epsilon={x\inU \ |\ dist(x,del U)>\epsilon}$[\edit]



ora io direi che siccome $V\sub\subU$ esisterà un $\bar\epsilon$ tale che $\forall \epsilon<\bar\epsilon\ \ \ \V\sub\subU_epsilon$, dato che $U_epsilon ->U$.

E siccome la mollificazione $u^\epsilon\in C^\infty(U_epsilon)\ \ \ \forall \epsilon>0$ ne segue che la restrizione di $u^\epsilon$ a $V$ è uniformemente continua per $\epsilon<\bar\epsilon$; e lo stesso ragionamento lo posso ripetere con tutte le derivate di $u^\epsilon$.

quindi posso dire che in realtà esiste una successione di funzioni $\in C^\infty(\barV)$ che tende ad $u$ in $V$ e non solo $C^infty(V)$?

[dissonance]

"Fox":(non sono stato in grado di capire come indicare la convoluzione...)

\$**\$. Ottieni $**$.

[Fox4]

Bene! Ho corretto il post