Approssimazione Numero di Nepero

[Tidus89]

Applicazione del Polinomio di Taylor (Resto di Lagrange), per approssimare il numero di Nepero a meno di un centesimo.

$e^x=1+x+(x^2)/2+...+(x^n)/n!+(e^t)(x^(n+1))/((n+1)!)$
$x=1 $
$e=1+1+1/2+1/6+...+1/n!+(e^t)/((n+1)!) $
$e^t/((n+1)!)<1/100$
$e^t/(n+1)!
E' giusto fin qui? Come continuo?

[Sidereus1]

"Tidus89":Applicazione del Polinomio di Taylor (Resto di Lagrange), per approssimare il numero di Nepero a meno di un centesimo.

$e^x=1+x+(x^2)/2+...+(x^n)/n!+(e^t)(x^(n+1))/((n+1)!)$
$x=1 $
$e=1+1+1/2+1/6+...+1/n!+(e^t)/((n+1)!) $
$e^t/((n+1)!)<1/100$
$e^t/(n+1)!
E' giusto fin qui? Come continuo?

Poiché $0 $2/((n+1)!)<1/100 \rightarrow (n+1)!>200$, quindi $n>= 5$.

[Tidus89]

Al mio prof veniva:
$n>4$ e $n=4$

[Tidus89]

Nessuno mi può aiutare?

[gugo82]

Anche prendendo la maggiorazione più fine $1/((n+1)!)<=e^t/((n+1)!)<=e/((n+1)!)$, la differenza tra i termini estremi è $(e-1)/((n+1)!)$, cosicché:

$(e-1)/((n+1)!)<1/(100) \Leftrightarrow (n+1)!>(e-1)*100$

Visto che $e=2,718$, allora $(e-1)*100<172$ e per verificare l'ultima disuguaglianza ti basta prendere $n$ in modo che:

$(n+1)!>=172\quad$.

Visto che per $n=4$ hai $(n+1)! =5! =120$, questa stima (che è la migliore possibile, ad occhio) non è verificata da $4$.
Visto che per $n=5$ hai $(n+1)! =6! =720$ e visto che il fattoriale è strettamente crescente, la precedente disuguaglianza è vera per ogni $n>=5$.

Aggiunta numerica: Calcolando con una calcolatrice si trova $e-\sum_(n=0)^4 1/(n!)~=0,00995>0,001$, quindi il ragionamento torna (ed il tuo prof. aveva sbagliato a calcolare).

[Fioravante Patrone1]

"Tidus89":Al mio prof veniva:
$n>4$ e $n=4$

Occhio, Tidus89, al modo in cui scrivi.
Non esiste nessun numero che sia allo stesso tempo strettamente maggiore di 4 e uguale a 4. La "e" in mezzo è sbagliata.
Se volevi dire $n \ge 4$, dovevi dire $n>4$ o $n=4$