Approssimazione liscia

[PaperK1]

Assumiamo vi sia una funzione f definita su tutto $\mathbb(R)^N$ e che questa risulti lipschitziana.
Posso sperare di trovare una successione approssimante $(g_n)_n$ di funzioni in $\mathcal(C)^{\infty}(\mathbb(R)^N)$??
Qualcuno conosce un risultato di questo tipo?? Grazie.

[poll89]

Mmm, la tua richiesta mi fa venire in mente l'approssimazione mediante funzioni semplici di una funzione $f$ misurabile secondo Lebesgue, però non so dirti se una funzione semplice appartenga a $ \mathcal(C)^{\infty}(\mathbb(R)^N) $. Di sicuro la si può prolungare con continuità, ma a quel punto perderebbe di valore per quello che vogliamo fare. Lascio a te o ad altri il compito di verificare.

Assumendo che sia vero (cosa tutta da dimostrare o smentire) il resto segue: infatti la lipschitzianità di f su $RR^n$ implica la continuità, che a sua volta implica la misurabilità, la quale infine implica che f sia il limite puntuale su $RR^n$ di una successione di funzioni semplici (nonchè misurabili) su $RR^n$.

Comunque ripeto, resta quell'enorme "se" da verificare. Mi spiace di non saperti dire di più.

[_fabricius_1]

Con successione approssimante intendi una successione che converge puntualmente?