Approssimazione H1 del valore assoluto
Una cosa che si usa per dimostrare il teorema di Stone-Weierstrass è questo sviluppo in serie:
[tex]$|x|=\sum_{n=0}^\infty {1/2 \choose n} (x^2-1)^n,\quad \lvert x \rvert \le 1[/tex]
che si ottiene dalla serie binomiale (ne parlammo pure con Rigel qualche mese fa). Chiamiamo
[tex]$P_N(x)=\sum_{n=0}^N {1/2 \choose n} (x^2-1)^n[/tex]
la somma parziale [tex]N[/tex]-esima. Vorrei dimostrare che [tex]P'_N[/tex] converge nel senso di [tex]L^2([-1, 1])[/tex] alla funzione segno (la derivata di [tex]\lvert x \rvert[/tex]), secondo voi qual è il metodo più svelto?
[tex]$|x|=\sum_{n=0}^\infty {1/2 \choose n} (x^2-1)^n,\quad \lvert x \rvert \le 1[/tex]
che si ottiene dalla serie binomiale (ne parlammo pure con Rigel qualche mese fa). Chiamiamo
[tex]$P_N(x)=\sum_{n=0}^N {1/2 \choose n} (x^2-1)^n[/tex]
la somma parziale [tex]N[/tex]-esima. Vorrei dimostrare che [tex]P'_N[/tex] converge nel senso di [tex]L^2([-1, 1])[/tex] alla funzione segno (la derivata di [tex]\lvert x \rvert[/tex]), secondo voi qual è il metodo più svelto?
Risposte
Come fa una serie di funzioni continue a convergere uniformemente ad una funzione discontinua?
Mannaggia alla distrazione, mannaggia. Vedi che gaffe che m'è scappata!
Però, in realtà mi serviva la convergenza nel senso di $L^2$. Adesso modifico il testo originale. @Gugo: Non ridere troppo che poi ti fa male la mascella.
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