Approssimazione di un integrale
Ciao a tutti!
Ho la funzione
\(\displaystyle
g(x,y) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} + \frac{y}{\sin y}& x \cdot y \ne 0 \\
2 & x \cdot y = 0 \end{cases} \)
Le consegne sono:
1) stabilire se g è differenziabile in (0,0) (lo è);
2) determinare, se esistono, gli estremi assoluti di g in \(\displaystyle [\frac{1}{3},\frac{3}{2}] \times [\frac{1}{3},\frac{3}{2}] \) (non esistono);
3) calcolarne un valore approssimato a meno di $10^-2$ di \(\displaystyle \iint_A g(x,y) dx dy \)
con
$A=[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}] \times [\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}]$
Il problema è che quest'ultimo caso non so come affrontarlo. Avete qualche suggerimento?
Ho la funzione
\(\displaystyle
g(x,y) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} + \frac{y}{\sin y}& x \cdot y \ne 0 \\
2 & x \cdot y = 0 \end{cases} \)
Le consegne sono:
1) stabilire se g è differenziabile in (0,0) (lo è);
2) determinare, se esistono, gli estremi assoluti di g in \(\displaystyle [\frac{1}{3},\frac{3}{2}] \times [\frac{1}{3},\frac{3}{2}] \) (non esistono);
3) calcolarne un valore approssimato a meno di $10^-2$ di \(\displaystyle \iint_A g(x,y) dx dy \)
con
$A=[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}] \times [\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}]$
Il problema è che quest'ultimo caso non so come affrontarlo. Avete qualche suggerimento?
Risposte
Ciao Brancaleone,
non ho assolutamente la risposta, vorrei solo ragionare insieme a te, ma devi controllare bene che io non dica bestialità gigantesche.
Allora secondo me stiamo cercando il volume dell'elementino conpreso tra un quadratino di area $1/100$ e il grafico della nostra funzione, se il nostro grafico fosse un piano non faremmo altro che calcolare il volume di un prisma alto quanto il valore della nostra funzione, ma visto che non è un piano ci chiediamo come cambia il grafico in prossimità (0,1 è abbastanza piccolo?) del punto di coordinate $(pi/2; pi/2)$.
Fino qui secondo te va bene?
non ho assolutamente la risposta, vorrei solo ragionare insieme a te, ma devi controllare bene che io non dica bestialità gigantesche.
Allora secondo me stiamo cercando il volume dell'elementino conpreso tra un quadratino di area $1/100$ e il grafico della nostra funzione, se il nostro grafico fosse un piano non faremmo altro che calcolare il volume di un prisma alto quanto il valore della nostra funzione, ma visto che non è un piano ci chiediamo come cambia il grafico in prossimità (0,1 è abbastanza piccolo?) del punto di coordinate $(pi/2; pi/2)$.
Fino qui secondo te va bene?
Ciao gio73, grazie per aver risposto :)
Ok
Come cambia il grafico in prossimità di $(pi/2; pi/2)$? Potrebbe essere un'idea - non capisco però la frase "0,1 è abbastanza piccolo?"
Allora secondo me stiamo cercando il volume dell'elementino conpreso tra un quadratino di area $1/100$ e il grafico della nostra funzione, se il nostro grafico fosse un piano non faremmo altro che calcolare il volume di un prisma alto quanto il valore della nostra funzione,
Ok
ma visto che non è un piano ci chiediamo come cambia il grafico in prossimità (0,1 è abbastanza piccolo?) del punto di coordinate $(pi/2; pi/2)$.
Come cambia il grafico in prossimità di $(pi/2; pi/2)$? Potrebbe essere un'idea - non capisco però la frase "0,1 è abbastanza piccolo?"
Guarda Branca, mi sto muovendo su un terreno che non conosco, mi affido solo alla mia intuizione ma potrei dire delle fesserie proprio grosse, quindi fai molta attenzione e metti in moto il tuo ragionare, magari in due di fesserie ne diciamo meno.
Allora un po' di tempo fa mi sono imbatuta nel teorema del differenziale totale (così lo chiama lo Zwirner), che dice sostanzialmente che se ci allontaniamo di poco ($1/10$ è poco?) da un punto la differenza tra i valori che la mia funzione assume si trova facentdo il prodotto dell'incremento lungo x ($Deltax$ il nostro 0,1) per la derivata parziale secondo x e aggiungendolo al prodotto dell'incremento lungo y ($Deltay$ sempre 0,1) per la derivata parziale secondo y e basta.
Insomma se i due punti non sono tanto distanti il grafico che li congiunge può essere approssimato a una funzione lineare, "dritta" non curva... non so se sono riuscita a spiegarmi.
Allora un po' di tempo fa mi sono imbatuta nel teorema del differenziale totale (così lo chiama lo Zwirner), che dice sostanzialmente che se ci allontaniamo di poco ($1/10$ è poco?) da un punto la differenza tra i valori che la mia funzione assume si trova facentdo il prodotto dell'incremento lungo x ($Deltax$ il nostro 0,1) per la derivata parziale secondo x e aggiungendolo al prodotto dell'incremento lungo y ($Deltay$ sempre 0,1) per la derivata parziale secondo y e basta.
Insomma se i due punti non sono tanto distanti il grafico che li congiunge può essere approssimato a una funzione lineare, "dritta" non curva... non so se sono riuscita a spiegarmi.
Sì credo di aver capito cosa stai dicendo, ma non sono sicuro che questa sia la strada, se non altro perché nel corso non abbiamo mai parlato di differenziale totale. In più, aggrappandomi alla tua domanda (1/10 è poco?), chi ci assicura che un certo numero arbitrario $n:n \le \frac{1}{10}$ è "abbastanza piccolo"?
Ora provo io a dire una cretinata. Tempo fa con una funzione a due variabili dovevo trovare un maggiorante e un minorante dell'integrale in una certa area A. Per farlo si trovano un maggiorante e minorante della funzione integranda, dopodiché basta moltiplicare queste due quantità per l'area stessa.
Non potrebbe andare bene anche qui un ragionemento simile? Il problema è che non so come stabilirlo per $10^{-2}$. Forse devo impiegare in qualche modo il resto secondo Lagrange - si può fare per due variabili?
Ora provo io a dire una cretinata. Tempo fa con una funzione a due variabili dovevo trovare un maggiorante e un minorante dell'integrale in una certa area A. Per farlo si trovano un maggiorante e minorante della funzione integranda, dopodiché basta moltiplicare queste due quantità per l'area stessa.
Non potrebbe andare bene anche qui un ragionemento simile? Il problema è che non so come stabilirlo per $10^{-2}$. Forse devo impiegare in qualche modo il resto secondo Lagrange - si può fare per due variabili?
Ciao Branca, poi mi spieghi il motivo del tuo nomignolo?
provo a tradurre quello che mi hai detto: allora nei punti del nostro quadratino andiamo a cercare quello che corrisponde al valore minimo della nostra funzione e quello che corrisponde al valore massimo (speriamo, come credo, che siano sui bordi), poi calcoliamo il valore dei due prismetti a base quadrata e vediamo di quanto differiscono i due volumetti e valutiamo.
Il mio prof di mate, tanti anni fa mi disse: "Non è questione di giusto o sbagliato... va bene anche un po' sbagliato basta che sia poco", per intenderci non dobbiamo mica saperlo con precisione assoluta il volume del prismetto basta che teniamo sotto controllo l'errore, no?
Facendo un po' di disegnini mi pare che se ci muoviamo lungo l'asse x si va a diminuire, cosa succede se ci muoviamo verticalmente?
provo a tradurre quello che mi hai detto: allora nei punti del nostro quadratino andiamo a cercare quello che corrisponde al valore minimo della nostra funzione e quello che corrisponde al valore massimo (speriamo, come credo, che siano sui bordi), poi calcoliamo il valore dei due prismetti a base quadrata e vediamo di quanto differiscono i due volumetti e valutiamo.
Il mio prof di mate, tanti anni fa mi disse: "Non è questione di giusto o sbagliato... va bene anche un po' sbagliato basta che sia poco", per intenderci non dobbiamo mica saperlo con precisione assoluta il volume del prismetto basta che teniamo sotto controllo l'errore, no?
Facendo un po' di disegnini mi pare che se ci muoviamo lungo l'asse x si va a diminuire, cosa succede se ci muoviamo verticalmente?
Sì l'idea sarebbe quella, sperando che sia giusta.
Mi sono calcolato il gradiente e l'ho impostato = 0: a scanso di errori mi viene:
\(\displaystyle \begin{cases} g_x = \frac{x \cos x-\sin x}{x^2} = 0\\
g_y = \frac{-y \cos y+\sin y}{(\sin x)^2} = 0\end{cases} \)
ma già in $g_x$ ottengo
$x \cos x-\sin x =0 \Rightarrow x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$
che però nel quadrato considerato non è mai soddisfatta. Ho controllato allora i bordi e mi viene:
\(\displaystyle \frac{\partial g(x, \frac{\pi}{2})}{\partial x} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \tan x\) che è sempre vera in A $\rightarrow$ g cresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(x, \frac{\pi}{2}+\frac{1}{10})}{\partial x} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \tan x\) che è sempre vera in A $\rightarrow$ g cresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(\frac{\pi}{2},y)}{\partial y} \ge 0 \Leftrightarrow y \le \tan y\) che non è mai vera in A $\rightarrow$ g decresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10},y)}{\partial y} \ge 0 \Leftrightarrow y \le \tan y\) che non è mai vera in A $\rightarrow$ g decresce lungo questo bordo
Avrei quindi un massimo in $P_1(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10},\frac{\pi}{2})$ e un minimo in $P_2(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10})$
$g(P_1) \approx 2.316$
$g(P_2) \approx 2.166$
Il volumetto più grande varrebbe $\frac{1}{100} \cdot 2.316 = 0.02316$
Il volumetto più piccolo varrebbe $\frac{1}{100} \cdot 2.116 = 0.02116$
Mi sono calcolato il gradiente e l'ho impostato = 0: a scanso di errori mi viene:
\(\displaystyle \begin{cases} g_x = \frac{x \cos x-\sin x}{x^2} = 0\\
g_y = \frac{-y \cos y+\sin y}{(\sin x)^2} = 0\end{cases} \)
ma già in $g_x$ ottengo
$x \cos x-\sin x =0 \Rightarrow x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$
che però nel quadrato considerato non è mai soddisfatta. Ho controllato allora i bordi e mi viene:
\(\displaystyle \frac{\partial g(x, \frac{\pi}{2})}{\partial x} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \tan x\) che è sempre vera in A $\rightarrow$ g cresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(x, \frac{\pi}{2}+\frac{1}{10})}{\partial x} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \tan x\) che è sempre vera in A $\rightarrow$ g cresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(\frac{\pi}{2},y)}{\partial y} \ge 0 \Leftrightarrow y \le \tan y\) che non è mai vera in A $\rightarrow$ g decresce lungo questo bordo
\(\displaystyle \frac{\partial g(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10},y)}{\partial y} \ge 0 \Leftrightarrow y \le \tan y\) che non è mai vera in A $\rightarrow$ g decresce lungo questo bordo
Avrei quindi un massimo in $P_1(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10},\frac{\pi}{2})$ e un minimo in $P_2(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10})$
$g(P_1) \approx 2.316$
$g(P_2) \approx 2.166$
Il volumetto più grande varrebbe $\frac{1}{100} \cdot 2.316 = 0.02316$
Il volumetto più piccolo varrebbe $\frac{1}{100} \cdot 2.116 = 0.02116$
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