Approssimazione di f[(x+dx)^2]

[spidersim]

Salve a tutti!
A lezione il prof ha approssimato
$ f[(x+dx)^2]=f[x^2+2x(dx)+(dx)^2] $ (con $ dx $ differenziale di x)
con
$ f(x^2)+(df)/dx^2 2x(dx)+(ORDINISUPERIORI) $ .
Non ha dato spiegazioni dal momento che non tiene un corso di analisi, ma di meccanica quantistica.
Sapreste dirmi da dove sbuca l'approssimazione? e senza approssimare cosa verrebbe?
Credo che in qualche modo ci sia un legame con un rapporto incrementale fatto ad hoc,
ma non sono riuscito ad elaborare una dimostrazione convincente.
Grazie

[Whisky84]

Le approssimazioni chiamano Taylor

Sia $f(x)$ una funzione bella a piacere (cioè continua dove ci serve, derivabile dove ci serve e quante volte ci serve).
Consideriamo la funzione composta:
$g(x) = f(x^2)$,

e sviluppiamola in serie di Taylor intorno a un certo punto $x_0$:
$g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{dg(x_0)} {dx} \frac{(x-x_0)^k}{k!} = g(x_0) + \frac{dg(x_0)}{dx}(x-x_0) + o((x-x_0)^2)$.

Derivando $g(x)$ otteniamo:
$ \frac{dg(x)}{dx} =\frac{d}{dx}f(x^2) = 2x\frac{df(x)}{dx}$,

e sostituendo nella precedente:
$ g(x) = g(x_0) + 2x\frac{df(x)}{dx}(x-x_0)+o((x-x_0)^2) $
che è praticamente la formula del tuo prof

[spidersim]

Grande, funziona!!
Grazie mille!!