Approssimazione con funzioni lipschitziane
Ammetto di non avere nemmeno tentato di dimostrarlo perché sono sicuro che non è abbastanza banale per me 
Si tratta di un enunciato di questo genere:
per ogni funzione uniformemente continua $g(x)$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste una funzione $f(x)$ lipschitziana tale che $\text{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f(x)-g(x)|\leq\epsilon$.
Vorrei sapere intanto se scritto così è vero, e poi se la dimostrazione è banale o meno. Se non lo è, apprezzerei un link o il nome di qualche libro con la dimostrazione.
Da quel poco che so su questo tipo di dimostrazioni, si dovrebbe esibire una successione di funzioni lipschitziane convergente alla $f(x)$, quindi una dimostrazione semplice... Una volta costruita la successione
Si tratta di un enunciato di questo genere:per ogni funzione uniformemente continua $g(x)$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste una funzione $f(x)$ lipschitziana tale che $\text{sup}_{x\in\mathbb{R}}|f(x)-g(x)|\leq\epsilon$.
Vorrei sapere intanto se scritto così è vero, e poi se la dimostrazione è banale o meno. Se non lo è, apprezzerei un link o il nome di qualche libro con la dimostrazione.
Da quel poco che so su questo tipo di dimostrazioni, si dovrebbe esibire una successione di funzioni lipschitziane convergente alla $f(x)$, quindi una dimostrazione semplice... Una volta costruita la successione
Risposte
Fissato \(\epsilon > 0\) prendi il \(\delta\) corrispondente a \(\epsilon / 2\) nella definizione di uniforme continuità.
Considera adesso una griglia \(x_i := i \delta/2\), \(i\in\mathbb{Z}\) e costruisci \(f\) come interpolazione affine dei punti \((x_i, g(x_i))\). Questa funzione \(f\) è Lipschitziana di costante \(C = \epsilon / (2\delta)\) e approssima \(g\) come richiesto.
Considera adesso una griglia \(x_i := i \delta/2\), \(i\in\mathbb{Z}\) e costruisci \(f\) come interpolazione affine dei punti \((x_i, g(x_i))\). Questa funzione \(f\) è Lipschitziana di costante \(C = \epsilon / (2\delta)\) e approssima \(g\) come richiesto.
Grazie Rigel! Vediamo se riesco a concludere dopo che praticamente mi hai detto tutto
Provo che la $f(x)$ creata è lipschitziana:
inizio dal caso in cui $x$ e $y$ sono due $x_i$ consecutivi e ottengo $|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}|\leq\frac{\epsilon}{2}\frac{2}{\delta}$... C'è per caso un 2 di troppo da qualche parte?
Provo che la $f(x)$ creata è lipschitziana:
inizio dal caso in cui $x$ e $y$ sono due $x_i$ consecutivi e ottengo $|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}|\leq\frac{\epsilon}{2}\frac{2}{\delta}$... C'è per caso un 2 di troppo da qualche parte?
Ah sì, può darsi (le costanti le scrivo abbastanza a caso, tanto sempre costanti sono 
).
).
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