Approssimare una funzione ma come?

[delca85]

Come posso trovare $delta$$>0$ e un polinomio $p(x)$ di 2° grado che approssimi $f(x)=xsin^2x$ a meno di $10^(-3)$ in [0,$\delta$]$?
Volevo utilizzare il polinomio di Taylor e la formula del resto di Lagrange ma non so come fare in un intervallo e non in un punto!
Grazie!

[Lord K]

In questo caso il punto di sviluppo può essere sia $0$ che $delta$. In ogni caso puoi trovare un polinomio che approssima ciò che cerchi!

[delca85]

Ma se trovo un polinomio centrato in 0 o in $delta$ quello va bene in tutto l'intervallo preso in considerazione?

[ViciousGoblin]

"delca85":Come posso trovare $delta$$>0$ e un polinomio $p(x)$ di 2° grado che approssimi $f(x)=xsin^2x$ a meno di $10^(-3)$ in [0,$\delta$]$?
Volevo utilizzare il polinomio di Taylor e la formula del resto di Lagrange ma non so come fare in un intervallo e non in un punto!
Grazie!

Lagrange ti dice che per qualunque $x$ si ha $x\sin(2x)=2x^2+f'''(\xi)x^3/6$ dove $\xi$ e' un punto intermedio tra $0$ e $x$
e dove $f(x)=x\sin(2x)$ ( e' chiaro che $f(0)=f'(0)=0$, mentre $f''(0)=4$ per cui il polinomio di Taylor di ordine due e' $2x^2$).
Allora $f'''(x)=-12\sin(2x)-8x\cos(2x)$ (se non ho sbagliato i conti), Se $0\leq x\leq\delta$ hai $!f'''(x)!\leq12+16\delta$ da cui,
$|x\sin(2x)-2x^2|\leq(12+16\delta)\delta^3/6$
e a questo punto puoi imporre che la quantita' sopra sia minore di $10^{-3}$, per esempio, se ti restringi a $0<\delta<1$
basta che $(12+16)\delta^3<6\cdot 10^{-3}$ cioe' $delta^3<6/28 10^{-3}$ ... mi pare che $\delta<.1/18$ vada bene.

[delca85]

Grazie mille per l'attenzione, però scusa, perchè hai fatto tutto con $x*sin(2x)$ invece che con $x*sin^2x$?
Con la funzione con cui io devo fare l'esercizio, non mi viene perchè tutte le derivate mi risultano 0 con il polinomio di Taylor centrato in 0, così non trovo $P(x)$..
Grazie ancora!

[ViciousGoblin]

"delca85":Grazie mille per l'attenzione, però scusa, perchè hai fatto tutto con $x*sin(2x)$ invece che con $x*sin^2x$?
Con la funzione con cui io devo fare l'esercizio, non mi viene perchè tutte le derivate mi risultano 0 con il polinomio di Taylor centrato in 0, così non trovo $P(x)$..
Grazie ancora!

Ehmm.... perche' ho letto male

Va beh, vorra' dire che $P(x)=0$ e poi lo schema sara' lo stesso (cercare $\delta$ tale che $\max_{0\leq\xi\leq\delta}|f'''(\xi)|\delta^3/6<10^{-3}$ )

[irenze]

Oppure esistono metodi dovuti all'analisi numerica (quelli che poi si usano per approssimare gli integrali). Per esempio puoi scrivere $P(x) = a x^2 + b x + c$ e poi imporre $P(0) = f(0)$, $P(\delta) = f(\delta)$ e poi per esempio $P(\delta/2) = f(\delta/2)$ oppure una condizione sulla derivata prima...
Questi metodi a quanto ne so sono di solito più efficienti su tutto l'intervallo di quanto non lo sia Taylor, ma non sono un'esperta, quindi lascio a qualcun altro di dirti qual è il modo migliore di fare una cosa del genere.

[delca85]

Ok grazie. Non so quale metodo preferisca il prof, questi sono esercizi di un foglio di anni precedenti al mio. Adesso provo a farlo così poi appena arricp agli integrali riprovo con l'altro metodo.
Grazie a tutti!