Approssimare una funzione in uno spazio funzionale (Serie di Fourier)

[biowep]

Salve, sto studiando Analisi 2 e trovo molto interessante il fatto che l'approssimazione di una funzione con la serie di Fourier altro non sia che la proiezione della stessa sullo spazio dei polinomi trigonometrici, ovvero sullo spazio delle funzioni del tipo: \(\displaystyle a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \) che è generato dai "vettori" \(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\ \frac{\cos(kx)}{\sqrt\pi},\ \frac{\sin(kx)}{\sqrt\pi},\ ...\right) \quad (k=1, 2, ...)\).

Mi chiedevo, dato che in questo caso non è uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) che significato ha la dimensione dello spazio, cioè il numero di vettori che uso per la base (che dovrebbe essere \(\displaystyle 2n+1 \), giusto?)?

C'è la possibilità di approssimare una funzione con altre funzioni, trovare cioè un altro gruppo di funzioni ortogonali (che hanno prodotto scalare \(\displaystyle 0 \)) tra di loro che creino uno spazio di funzioni su cui proiettare una qualsiasi funzione per approssimarla tramite quelle funzioni?

[Camillo]

La risposta è sì, ad esempio si possono approssimare le funzioni con i polinomi di Legendre.
Vedi questo documento
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... ap.4-6.pdf