Approssimante lineare - conferma

[Seneca1]

Buongiorno.


$f$ Ammette approssimante lineare in $x_0$ $hArr$ $f$ derivabile in $x_0$

Volevo una conferma sulla dimostrazione della sufficienza: ossia, supposta l'esistenza di un approssimante lineare $psi$ in un punto $x_0$, funzione che soddisfa alle condizioni:

1) $f(x_0) = psi(x_0)$

2) $f(x) - psi(x) = o( x - x_0)$

Si deduce la derivabilità della $f$ in $x_0$.


$psi(x) = m x + q $;

Quindi, se $psi$ esiste, dalla (2):

$lim_( x -> x_0 ) (f(x) - psi(x))/(x - x_0) = 0$

$lim_( x -> x_0 ) (f(x) - f(x_0) - [ psi(x) - f(x_0) ])/(x - x_0) = 0$

$lim_( x -> x_0 ) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) - (psi(x) - f(x_0))/(x - x_0) = 0$

Dalla (2) ( $f(x_0) = psi(x_0)$):

$lim_( x -> x_0 ) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) - (psi(x) - psi(x_0))/(x - x_0) = 0$

$f'(x_0) - psi'(x_0) = 0$

$f'(x_0) = m$


Inoltre, dalla (1):

$f(x_0) = m x_0 + q $

$q = f(x_0) - m x_0 $

$psi(x) = m x - m x_0 + f(x_0)

$psi(x) = f'(x_0) ( x - x_0 ) + f(x_0)


Grazie a chi darà un'occhiata alla validità della dimostrazione.

[dissonance]

Secondo me la fai più complicata del necessario. Io intanto scriverei
[tex]f(x) = f(x_0) + \psi(x_0)(x-x_0) + o( |x-x_0| )[/tex]
così metti in evidenza il fatto che l'approssimazione lineare è centrata in [tex]x_0[/tex]. Riscrivendo questa equazione in termini espliciti otteniamo:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\psi(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0[/tex]
ovvero, semplificando [tex]x-x_0[/tex],
[tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\psi(x_0)[/tex]
quindi [tex]f[/tex] è derivabile in [tex]x_0[/tex] e la derivata vale [tex]\psi(x_0)[/tex].

Io farei così, ma non sto dicendo che la tua dimostrazione è errata, sia ben chiaro.

P.S.: Anzi mi pare (ad un esame affrettato) che sia corretta.

[Seneca1]

Grazie della dritta, Dissonance..