Approccio variazionale

[mobley]

Se ho un problema di massimizzazione che non ammette soluzioni in $C^2$, che cosa vuol dire che applicando un approccio variazionale posso modificare il sistema e renderlo quindi risolvibile?
Cito dagli appunti: "Tale approccio definisce la soluzione di un sistema come il minimo di un opportuno funzionale in un opportuno spazio funzionale, i cui elementi ammettono derivate (deboli) del primo ordine integrabili."

[Luca.Lussardi]

Si, il trucco è quello di allargare lo spazio delle funzioni ammissibili sperando di trovare una soluzione, più lo spazio è grande più è probabile, intuitivamente, che una soluzione, in un senso opportuno, ci sia. Bisogna però trovare un giusto equilibrio, non ingrandire troppo perchè alla fine l'obiettivo è anche verificare se la soluzione ottenuta in realtà era abbastanza regolare.

[mobley]

"Luca.Lussardi":Si, il trucco è quello di allargare lo spazio delle funzioni ammissibili sperando di trovare una soluzione, più lo spazio è grande più è probabile, intuitivamente, che una soluzione, in un senso opportuno, ci sia. Bisogna però trovare un giusto equilibrio, non ingrandire troppo perchè alla fine l'obiettivo è anche verificare se la soluzione ottenuta in realtà era abbastanza regolare.

Grazie mille per la risposta luca! Quindi se ad es. io passo da $Lf=0$ ad $Lf<=0$ con $L$ funzionale lineare, sto applicando un approccio variazionale perchè allargo lo spazio delle soluzioni non più soltanto alle funzioni che soddisfano l'equazione ma anche a quelle che rendono la quantità $<=0$?

[gugo82]

Per un esempio, vedi questo mio vecchio post.

[mobley]

"gugo82":Per un esempio, vedi questo mio vecchio post.

Grazie gugo! Diciamo che più che un post è un trattato In ogni caso ho capito il senso della faccenda

[dissonance]

Bravo. In ogni caso non ti fissare troppo sulle parole. Questa domanda:

sto applicando un approccio variazionale perchè allargo lo spazio delle soluzioni non più soltanto alle funzioni che soddisfano l'equazione ma anche a quelle che rendono la quantità ≤0?

non è una cosa molto importante. "Approccio variazionale" significa tutto e non significa niente, si tratta solo di un gergo. Sono parole che si usano a livello informale, in modo che un esperto abbia rapidamente un "feeling" di quello che si sta dicendo. Non leggere troppo in queste chiacchiere informali.