Applicazioni tra spazi metrici e continuità
Pagani Salsa 2, pag.136:
"L'applicazione I che associa ad ogni funzione f limitata integrabile sull'intervallo (a,b) il suo integrale definito:
$ f \to \int_a^bf(x)dx$
è un'applicazione linerare (cioè additiva ed omogenea)."
pag.137: "Tale applicazione I, definita sullo spazio C(a,b) dotato della metrica integrale, è continua: infatti risulta:
$|I(f) - I(g)|= |\int_a^b(f(t) - g(t)) dt| <= \int_a^b |f(t) - g(t) |dt$
la precedente disuguaglianza si può scrivere nella forma:
$d_R(I(f), I(g))<= d_C(f,g)$
che prova la continuità di I."
---------------------------------
Quello che non capisco come fa $d_R(I(f), I(g))<= d_C(f,g)$ a provare la continuità.
Probabilmente non capisco la simbologia. Poco più sopra il libro dà la definizione di continuità, che è quella che F:X->Y è continua in un punto x_0 che appartiene a X se, fissato un $epsilon > 0$, è possibile trovare un $delta = delta(epsilon)$ tale che la distanza nello spazio Y tra F(x) e F(x_0) è minore di $epsilon$ se la distanza nello spazio X tra x e x_0 è minore di $delta$. E questo mi sta bene.
Invece nella spiegazione del libro la continuità viene ricavata dal fatto che la distanza nello spazio R sia minore o uguale alla distanza nello spazio C, senza citare $epsilon$ o $delta$...
"L'applicazione I che associa ad ogni funzione f limitata integrabile sull'intervallo (a,b) il suo integrale definito:
$ f \to \int_a^bf(x)dx$
è un'applicazione linerare (cioè additiva ed omogenea)."
pag.137: "Tale applicazione I, definita sullo spazio C(a,b) dotato della metrica integrale, è continua: infatti risulta:
$|I(f) - I(g)|= |\int_a^b(f(t) - g(t)) dt| <= \int_a^b |f(t) - g(t) |dt$
la precedente disuguaglianza si può scrivere nella forma:
$d_R(I(f), I(g))<= d_C(f,g)$
che prova la continuità di I."
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Quello che non capisco come fa $d_R(I(f), I(g))<= d_C(f,g)$ a provare la continuità.
Probabilmente non capisco la simbologia. Poco più sopra il libro dà la definizione di continuità, che è quella che F:X->Y è continua in un punto x_0 che appartiene a X se, fissato un $epsilon > 0$, è possibile trovare un $delta = delta(epsilon)$ tale che la distanza nello spazio Y tra F(x) e F(x_0) è minore di $epsilon$ se la distanza nello spazio X tra x e x_0 è minore di $delta$. E questo mi sta bene.
Invece nella spiegazione del libro la continuità viene ricavata dal fatto che la distanza nello spazio R sia minore o uguale alla distanza nello spazio C, senza citare $epsilon$ o $delta$...
Risposte
Ti sta mostrando che $I$ è Lipschitziana.
"dissonance":
Ti sta mostrando che $I$ è Lipschitziana.
e quindi è anche continua. Giusto. Ho la testa per impiccio. Grazie!
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