Applicazioni teorema del confronto
Salve.
Mi sono posto alcuni dubbi sull'applicazione del teorema del confronto: rispettando le ipotesi che $\lim_{x \to \x_0}f(x) = \lim_{x \to \x_0} = l$ e che $f(x)
E per questo esistono i libri.
E per questo esistono i libri.[/quote]
Sto studiando dal Bramanti-Pagani-Salsa. Non sono arrivato al capitolo sulle funzioni di una variabile (cap. 2) e sono bloccato a pag. 81, a un "problema" che ho posto in questa discussione, quello sulla giustificazione dell'espressione dei risultati di equazioni e disequazioni di funzioni trigonometriche con angoli non noti ragionando sulla circonferenza e attraverso la definizione funzioni trigonometriche inverse. Chiedendo sono stato aiutato a giustificare un'equazione attraverso la definizione di funzione trigonometrica inversa ma non a ragionare sulla circonferenza; mi è stato dato un "metodo" con cui regolarmi ma in cui non c'è del ragionamento. Studierò il teorema nel capitolo dei limiti di funzione; mi è stato raccontato, però, che una volta il professore si arrabbiò con uno studente che gli presentò un teorema dal libro perché lui voleva fosse enunciato quello presentato da lui a lezione, quindi quello postato qui dovrebbe essere più che sufficiente a trattare problemi di applicazione.
Mi sono posto alcuni dubbi sull'applicazione del teorema del confronto: rispettando le ipotesi che $\lim_{x \to \x_0}f(x) = \lim_{x \to \x_0} = l$ e che $f(x)
Risposte
Primo: quelle che citi non sono le sole ipotesi del teorema. Se hai una visione parziale è ovvio che non riesci a ricostruire il quadro generale.
Seconda cosa, le funzioni che individui non servono a nulla.
Seconda cosa, le funzioni che individui non servono a nulla.
Nel corso che ho seguito abbiamo solo fatto il teorema e un esempio di applicazione ($\lim_{x \to \0}sinx$) che ho capito. Chiedendo a un professore di matematica mi ha dato le due funzione che ho riportato e mi ha detto che bisogna rispettare le ipotesi che ho dedotto fossero quelle due citate, per lo meno dalla "versione" del teorema che ci ha dato il professore nel mio corso. Per visione parziale intendi che conosca in parte il teorema o che abbia ragionato poco sull'applicazione?
Intendo esattamente quel che ho scritto qui:
insomma, nell'enunciato mancano pezzi.
Il fatto che le funzioni "te le abbia date un professore di matematica", in sé, non significa nulla: potrebbe essersi distratto, potrebbe aver risposto ad un'altra domanda, potresti non aver afferrato il senso della risposta, etc...
Il Teorema dei carramba è, essenzialmente, un criterio per decidere l'esistenza del limite, non la sua inesistenza.
"gugo82":
quelle che citi non sono le sole ipotesi del teorema.
insomma, nell'enunciato mancano pezzi.
Il fatto che le funzioni "te le abbia date un professore di matematica", in sé, non significa nulla: potrebbe essersi distratto, potrebbe aver risposto ad un'altra domanda, potresti non aver afferrato il senso della risposta, etc...
Il Teorema dei carramba è, essenzialmente, un criterio per decidere l'esistenza del limite, non la sua inesistenza.
E' chiaro che non abbia scritto tutto il teorema ma mi sia limitato a riportare quello che meglio lasciasse intendere il mio dubbio. Comunque lo riporto; è quello che ha dato il professore di cui ho seguito il corso:
Siano $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ tali che:
1) $\lim_{x \to \x_0}f(x) = \lim_{x \to \x_0}h(x)= l$;
2) $f(x)<=g(x)<=h(x)$
allora $\lim_{x \to \x_0}g(x)=l$ localmente in $x_0$
DIM.
Siano $x_0, l in RR$ , dalla definizione di limite:
$EE\delta_1 > 0 : 0< | x - x_0| < \delta => | f(x) - l | < \epsilon$;
$EE\delta_2 > 0 : 0< | x - x_0| < \delta => | h(x) - l | < \epsilon$.
Posto $\delta=min{\delta_1, \delta_2}$ , se $0< | x - x_0| < \delta$,
risulta che $|f(x) - l| < \epsilon => l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon => l - \epsilon < f(x) <= g(x) <= h(x) < l + \epsilon$
Ho dedotto che le ipotesi fossero quelle. Dalla discussione con questo professore è emerso che bisogni prendere due funzioni con egual limite tra cui comprimere $g(x)$ il cui limite per $x \to \x_0$ è lo stesso delle due funzioni. Mi ha detto che le funzioni che ho preso vanno bene e che non bisogna prenderle a casaccio; bisogna prenderne due che abbiano lo stesso limite, rispettando le ipotesi.
Io del teorema del confronto conosco solo, dalle lezioni, quello che ti ho riportato sopra e l'applicazione a $lim_{x \to 0 }sinx$.
Sfruttare il teorema per far vedere che $lim_{x \to 0 }sinx$ non esiste non credo sia stato fatto dal professore che ha tenuto il corso che ho seguito per presentare il teorema del confronto come criterio per far notare la non esistenza del limite ma per far notare che la funzione è compresa fra $-1$ e $1$, e, quindi, si può concludere che la funzione è compressa allo stesso valore e il suo limite per $x \to \0$ è quello delle funzioni tra cui è compressa: $-1/x$ e $1/x$, essendo $-1/x< sinx/x< 1/x$, cosa che saprai benissimo.
Siano $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ tali che:
1) $\lim_{x \to \x_0}f(x) = \lim_{x \to \x_0}h(x)= l$;
2) $f(x)<=g(x)<=h(x)$
allora $\lim_{x \to \x_0}g(x)=l$ localmente in $x_0$
DIM.
Siano $x_0, l in RR$ , dalla definizione di limite:
$EE\delta_1 > 0 : 0< | x - x_0| < \delta => | f(x) - l | < \epsilon$;
$EE\delta_2 > 0 : 0< | x - x_0| < \delta => | h(x) - l | < \epsilon$.
Posto $\delta=min{\delta_1, \delta_2}$ , se $0< | x - x_0| < \delta$,
risulta che $|f(x) - l| < \epsilon => l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon => l - \epsilon < f(x) <= g(x) <= h(x) < l + \epsilon$
Ho dedotto che le ipotesi fossero quelle. Dalla discussione con questo professore è emerso che bisogni prendere due funzioni con egual limite tra cui comprimere $g(x)$ il cui limite per $x \to \x_0$ è lo stesso delle due funzioni. Mi ha detto che le funzioni che ho preso vanno bene e che non bisogna prenderle a casaccio; bisogna prenderne due che abbiano lo stesso limite, rispettando le ipotesi.
Io del teorema del confronto conosco solo, dalle lezioni, quello che ti ho riportato sopra e l'applicazione a $lim_{x \to 0 }sinx$.
Sfruttare il teorema per far vedere che $lim_{x \to 0 }sinx$ non esiste non credo sia stato fatto dal professore che ha tenuto il corso che ho seguito per presentare il teorema del confronto come criterio per far notare la non esistenza del limite ma per far notare che la funzione è compresa fra $-1$ e $1$, e, quindi, si può concludere che la funzione è compressa allo stesso valore e il suo limite per $x \to \0$ è quello delle funzioni tra cui è compressa: $-1/x$ e $1/x$, essendo $-1/x< sinx/x< 1/x$, cosa che saprai benissimo.
E le ipotesi ancora non sono complete.
Cosa sono $f,g,h$? Potrebbero essere delle patate?
Cos'è $x_0$? Forse è una mela?
Che oggetto è $l$? Un ramo?
Cosa sono $f,g,h$? Potrebbero essere delle patate?
Cos'è $x_0$? Forse è una mela?
Che oggetto è $l$? Un ramo?
Ti risponderei in modo scontato. Ad ogni modo il teorema è stato così presentato dal professore che ha tenuto il corso che ho seguito.
"sequence95":[/quote]
Ti risponderei in modo scontato.[]
Cioè?...
[quote="sequence95"]Ad ogni modo il teorema è stato così presentato dal professore che ha tenuto il corso che ho seguito.
E per questo esistono i libri.
"gugo82":[/quote]
[quote="sequence95"]Ti risponderei in modo scontato.[]
Cioè?...
$f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ sono funzioni, $x_0$ il punto a cui tende $x$ e $l$ il limite (valore finito).
[quote="sequence95"]Ad ogni modo il teorema è stato così presentato dal professore che ha tenuto il corso che ho seguito.
E per questo esistono i libri.[/quote]
Sto studiando dal Bramanti-Pagani-Salsa. Non sono arrivato al capitolo sulle funzioni di una variabile (cap. 2) e sono bloccato a pag. 81, a un "problema" che ho posto in questa discussione, quello sulla giustificazione dell'espressione dei risultati di equazioni e disequazioni di funzioni trigonometriche con angoli non noti ragionando sulla circonferenza e attraverso la definizione funzioni trigonometriche inverse. Chiedendo sono stato aiutato a giustificare un'equazione attraverso la definizione di funzione trigonometrica inversa ma non a ragionare sulla circonferenza; mi è stato dato un "metodo" con cui regolarmi ma in cui non c'è del ragionamento. Studierò il teorema nel capitolo dei limiti di funzione; mi è stato raccontato, però, che una volta il professore si arrabbiò con uno studente che gli presentò un teorema dal libro perché lui voleva fosse enunciato quello presentato da lui a lezione, quindi quello postato qui dovrebbe essere più che sufficiente a trattare problemi di applicazione.
"Sufficiente" non lo è, né per le applicazioni (se non sai cosa sono gli oggetti coinvolti in un enunciato, cosa vuoi applicare???), né a livello puramente teorico.[nota]Almeno non per i miei standard quando facevo gli esami di Analisi I agli ingegneri.[/nota]
Quello che deve importarti è capire ciò che studi. Se serve approfondire, approfondisci; se serve reperire altro materiale, lo reperisci; se serve cambiare testo di riferimento, lo cambi; se serve dedicare altro tempo, lo dedichi.
Il titolo di dottore (triennale o specialistico) non è un titolo di studio, ma un titolo culturale.
E di quello che dicono altri di ciò che fa il tuo docente dovrebbe fregarti davvero poco o nulla.
Detto ciò, è chiaro che in un corso di un semestre (72 ore circa se non sei un matematico) è impossibile trattare approfonditamente la matematica delle superiori ed insegnare anche l'Analisi.
Per questo motivo, ci si affida al fatto che quei prerequisiti siano posseduti dallo studente. Fiducia corroborata dal fatto che lo studente ha sostenuto dei test d'ingresso e se li ha passati, bene così, ma se non li ha passati con voto decente nella parte di competenze matematiche, si sia messo a studiare autonomamente ciò che gli serve prima dell'inizio del corso.
P.S.: Lascia perdere il Bramanti e prenditi un testo serio.
Quello che deve importarti è capire ciò che studi. Se serve approfondire, approfondisci; se serve reperire altro materiale, lo reperisci; se serve cambiare testo di riferimento, lo cambi; se serve dedicare altro tempo, lo dedichi.
Il titolo di dottore (triennale o specialistico) non è un titolo di studio, ma un titolo culturale.
E di quello che dicono altri di ciò che fa il tuo docente dovrebbe fregarti davvero poco o nulla.
Detto ciò, è chiaro che in un corso di un semestre (72 ore circa se non sei un matematico) è impossibile trattare approfonditamente la matematica delle superiori ed insegnare anche l'Analisi.
Per questo motivo, ci si affida al fatto che quei prerequisiti siano posseduti dallo studente. Fiducia corroborata dal fatto che lo studente ha sostenuto dei test d'ingresso e se li ha passati, bene così, ma se non li ha passati con voto decente nella parte di competenze matematiche, si sia messo a studiare autonomamente ciò che gli serve prima dell'inizio del corso.
P.S.: Lascia perdere il Bramanti e prenditi un testo serio.
Va bene.
Ciao sequence95,
Pur essendo senz'altro vera l'ultima catena di disuguaglianze, non ti aiuta a scoprire il valore del limite notevole per $x \to 0 $, perché otterresti l'ovvia disuguaglianza
$ - \infty < \lim_{x \to 0} sinx/x < +\infty $
Quella corretta da utilizzare (osservando il cerchio trigonometrico) è la seguente:
$sin x < x < tan x $
$ 1 < x/sinx < 1/cosx $
$ cos x < sinx/x < 1 $
Da quest'ultima si ha:
$\lim_{x \to 0} cosx < \lim_{x \to 0} sinx/x < \lim_{x \to 0} 1 \implies \lim_{x \to 0} sinx/x = 1 $
Invece la catena di disuguaglianze $ −1/x <= sinx/x <= 1/x $ è corretta e può essere utilizzata per dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to \pm \infty} sinx/x = 0 $
"sequence95":
[...] si può concludere che la funzione è compressa allo stesso valore e il suo limite per $x \to 0 $ è quello delle funzioni tra cui è compressa: $−1/x $ e $1/x $, essendo $−1/x < sinx/x < 1/x $ [...]
Pur essendo senz'altro vera l'ultima catena di disuguaglianze, non ti aiuta a scoprire il valore del limite notevole per $x \to 0 $, perché otterresti l'ovvia disuguaglianza
$ - \infty < \lim_{x \to 0} sinx/x < +\infty $
Quella corretta da utilizzare (osservando il cerchio trigonometrico) è la seguente:
$sin x < x < tan x $
$ 1 < x/sinx < 1/cosx $
$ cos x < sinx/x < 1 $
Da quest'ultima si ha:
$\lim_{x \to 0} cosx < \lim_{x \to 0} sinx/x < \lim_{x \to 0} 1 \implies \lim_{x \to 0} sinx/x = 1 $
Invece la catena di disuguaglianze $ −1/x <= sinx/x <= 1/x $ è corretta e può essere utilizzata per dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to \pm \infty} sinx/x = 0 $
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