Applicazioni gradiente coniugato
Ciao.Devo svolgere una relazione di analisi numerica sulle varie applicazioni del metodo del gradiente coniugato.Qualcuno di voi saprebbe darmi qualche dritta?consigliarmi qualche ambito applicativo da sviluppare che non sia troppo difficile per uno studente al secondo anno di matematica,risoluzione dei sistemi lineari esclusa?non so,se qualcuno sa di qualche applicazione fisica,informatica,"biomedica"...
grazie!!!!
grazie!!!!
Risposte
Applicazioni in cui si usi direttamente il metodo del gradiente coniugato non me ne vengono in mente... si possono trovare, invece, moltissime applicazioni in cui, usando metodi numerici alle differenze finite o agli elementi finiti, si giunga a problemi lineari che si possono risolvere in maniera conveniente con il gradiente coniugato.
Se conosci un minimo di metodi risolutivi per problemi ai limiti un caso che si puó trattare sarebbe quello di considerare la temperatura a regime nella parete di un forno composta di strati diversi di materiale. Si tratterebbe di risolvere l'equazione:
${(-D(x)(d^2u(x))/(dx^2)=(dD(x))/(dx)(du(x))/(dx)),(u(0)=T),(u(L)=T_0):}$
Dove $u(x)$ rappresenta la temperatura ad una distanza $x$ dalla parte interna del forno ed $L$ è lo spessore del volume, $T_0$ è la temperatura ambientale, $T$ quella all'interno del forno e $D(x)$ è una costante che dipende dal materiale e ne rappresenta la risposta termica.
Questo si può tranquillamente risolvere usando un metodo alle differenze finite e si perviene a un sistema lineare che si risolve in maniera efficiente con il gradiente coniugato. (soprattutto se si sceglie una griglia di calcolo molto fitta).
Si tratta di un problema anche di interesse pratico visto che $-u'(x)$ rappresenta il flusso di calore verso l'esterno del forno (che si vuole minimizzare per evitare sprechi), solo che per risolverlo è necessario conoscere un minimo di metodi numerici per problemi ai limiti (differenze finite ad esempio) oltre che dei valori credibili per la funzione $D(x)$.... poi non so se questo è il tipo di relazione che devi fare o se ti interessava di più fare una carrellata delle principali applicazioni...
*** EDIT ***
Vedi sotto.
Se conosci un minimo di metodi risolutivi per problemi ai limiti un caso che si puó trattare sarebbe quello di considerare la temperatura a regime nella parete di un forno composta di strati diversi di materiale. Si tratterebbe di risolvere l'equazione:
${(-D(x)(d^2u(x))/(dx^2)=(dD(x))/(dx)(du(x))/(dx)),(u(0)=T),(u(L)=T_0):}$
Dove $u(x)$ rappresenta la temperatura ad una distanza $x$ dalla parte interna del forno ed $L$ è lo spessore del volume, $T_0$ è la temperatura ambientale, $T$ quella all'interno del forno e $D(x)$ è una costante che dipende dal materiale e ne rappresenta la risposta termica.
Questo si può tranquillamente risolvere usando un metodo alle differenze finite e si perviene a un sistema lineare che si risolve in maniera efficiente con il gradiente coniugato. (soprattutto se si sceglie una griglia di calcolo molto fitta).
Si tratta di un problema anche di interesse pratico visto che $-u'(x)$ rappresenta il flusso di calore verso l'esterno del forno (che si vuole minimizzare per evitare sprechi), solo che per risolverlo è necessario conoscere un minimo di metodi numerici per problemi ai limiti (differenze finite ad esempio) oltre che dei valori credibili per la funzione $D(x)$.... poi non so se questo è il tipo di relazione che devi fare o se ti interessava di più fare una carrellata delle principali applicazioni...
*** EDIT ***
Vedi sotto.
Grazie mille!!!
Ho dimenticato un pezzo dell'equazione... 
Presumevo di ricordarmela correttamente, ma poi quando ho notato che la soluzione non dipendeva da $D(x)$ me la sono ricavata e ho constatato che mancava un pezzo... quindi correggo!
Approposito potresti inserire anche la "dimostrazione" di questa equazione: è una banale applicazione del teorema della divergenza + conservazione dell'energia e legge di Fourier:
$vec q = - k \nabla u$
dove $u$ è la temperatura e $vec q$ è il flusso termico.... si trova l'equazione di Fourier del calore (che è una EDP), ma se si studia il caso 1d stazionario:
$(\partial u)/(\partial t)=0$
si ottiene l'equazione che ti ho dato io... (ammettendo che i conti siano giusti)
Presumevo di ricordarmela correttamente, ma poi quando ho notato che la soluzione non dipendeva da $D(x)$ me la sono ricavata e ho constatato che mancava un pezzo... quindi correggo!
Approposito potresti inserire anche la "dimostrazione" di questa equazione: è una banale applicazione del teorema della divergenza + conservazione dell'energia e legge di Fourier:
$vec q = - k \nabla u$
dove $u$ è la temperatura e $vec q$ è il flusso termico.... si trova l'equazione di Fourier del calore (che è una EDP), ma se si studia il caso 1d stazionario:
$(\partial u)/(\partial t)=0$
si ottiene l'equazione che ti ho dato io... (ammettendo che i conti siano giusti)
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