Applicazioni del teorema del confronto.

[Giusyinthesky]

Salve..non riesco a capire qual è il procedimento per applicare il terorema del confronto ad un limite del tipo:

$ lim_(x ->+oo)((logx)^(3) ) /(x ^ 8) $


$ lim_(x->+oo)sin (2x) / ((x)^(8)) $


non riesco a capire come individuare una funzione più piccola ed una piu grande rispetto al rapporto tra le due che però tenda sempre ad $oo$.
vi sarei grata, se potete darmi una mano..

[dissonance]

Per prima cosa devi "fiutare" il comportamento della funzione. Prendiamo $frac{(log x)^3}{x^8}$. Quando $x \to infty$, il denominatore è infinito dell'ottavo ordine, e il numeratore, piccolino piccolino, molto difficilmente ce la farà a compensare. Quindi congetturiamo che quel limite sia $0$. Siccome parliamo di funzioni positive, per dimostrare questo basterà trovare una maggiorante $f(x)$

$\frac{(log x)^3}{x^8}le f(x)$

tale che $lim_{x \to \infty}f(x)=0$. A questo punto ci inventiamo una disuguaglianza. Osserviamo un po' i grafici del logaritmo e della funzione $x$:

[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=-1; ymax=2; axes(); plot("x"); plot("log(x)");[/asvg]

Mi pare plausibile che sia

$log(x) le x, quad x >1$ (per la verità vale anche per $x>0$, ma a noi serve solo in un intorno di $+infty$)

no? E infatti questo si può dimostrare subito: la funzione $x-log(x)$ è negativa in un intorno di $0$ e la sua derivata prima $1-1/x$ è positiva se $x>=1$.

Quindi in un intorno di $+infty$ è $log(x) le x$. Perciò è anche $(log(x))^3 le x^3$. Applicando tutto questo alla nostra funzione otteniamo che

$\frac{(log x)^3}{x^8}le frac{x^3}{x^8}=frac{1}{x^5}$

e siccome $lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^5}=0$, è anche $lim_{x \to \infty}\frac{(log x)^3}{x^8}=0$.

[Giusyinthesky]

@dissonance
Inanzitutto grazie per la risposta!
Non ho capito tutti i punti ma partendo dagli spunti che mi hai dato, ho provato a fare così:

ho pensato che per x$->oo$

$((logx)^(3))/x^8 =((logx)/x)^3 * 1/x^(5) $

i due termini tendono entrambi a zero, il primo per un confronto tra infinitesimi,il secondo in modo "banale".

poi,come hai detto tu, logx<=x ...ma potrei affermare che questa relazione è certa sempre perchè logx tende ad infinito piu lentamente rispetto ad una potenza (che in questo caso sarebbe $ (x)^(1) $ ) ?

in conclusione quindi seguendo il tuo procedimento è

$((logx)^(3))/x^8 <=1/x^(5) $

ma ora non è necessario per il teorema del confronto cercare anche una funzione minorante? non riesco a capire come fare perchè non mi vengono in mente per le mie conoscenze funzioni piu lente di logx..

ti ringrazio moltissimo e scusami per le ulteriori domande .

[Giusyinthesky]

ora ho pensato che in fondo potrei fare questo ragionamento:

per x$->oo$
so che log x in qunto positiva verifica sempre la seguente disuguaglianza

01

quindi elevando al cubo e dividendo per un termine positivo (senza cambiare quindi il verso della disequazione) ottengo:

0<=$((logx)^3)/x^8$

considerando lo 0 come la funzione f(x)=0, posso dire che per x$->oo$ la f(x) poichè è una costante tende sempre a 0

quindi ho trovato anche la mia funzione minorante tendente a zero!

forse è un po' semplicistico ma potrebbe andare?