Applicazione teorema di Rolle
Data una funzione f(x)=x^3+x+9 verifica che l'equazione f(x)=0 ammette una sola soluzione e dimostrare che questa appartiene all' intervallo [-2; 1].
Il Teorema di Rolle lo devi usare per dimostrare che la soluzione è unica.Innanzitutto ti dico che esiste un teorema,il Teorema fondamentale dell'algebra che afferma che ogni equazione di grado n
ha esattamente n soluzioni,ognuna contata con la propria molteplicità.
Questo significa che l'equazione 3x^3 + x + 9 = 0 ha 3 soluzioni e non
una come hai detto tu.In matematica bisogna essere precisi.
Se consideri solo le soluzioni reali,allora si,ma lo devi dire,ok?
Cmq veniamo al problema,per dimostrare che la soluzione c'è e che appartiene all'intervallo [-2,1],la collega credo sia stata abbastanza esauriente,per quanto riguarda invece la dimostrazione dell'unicità invece no,quindi te lo dimostro io.Usando appunto il teorema di Rolle.
Esso dice che una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b),se assume valori uguali agli estremi,allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo (a,b) in cui la derivata si annulla,cioè f '(c) = 0.
Ragioniamo per assurdo,supponiamo che,oltre alla soluzione che hai gia trovato ne esista un'altra e facciamo vedere che questo è impossibile.Chiamo x1 la soluzione che sta nell'intervallo [-2,1] e x2
un'altra ipotetica soluzione.Adesso,premesso che la funzione è dappertutto continua e derivabile,considero l'intervallo [x1,x2].
la funzione allora è continua e derivabile in quest'intervallo,ovviamente.
Siccome x1 e x2 sono soluzioni dell'equazione x^3+x+9=0 significa
che f(x1)=f(x2)=0,giusto?
Allora applichiamo Rolle,il teorema ci dice che deve esserci per forza un punto c in [x1,x2] per cui f '(c)=0.Allora calcoliamo la derivata della
nostra funzione che è f '(x) = 3x^2 + 1.
Ci sei fin qui?
Adesso proviamo a cercare questo punto c,siccome f '(c) deve essere
zero,dobbiamo semplicemente trovare le soluzioni dell'equazione
3x^2 + 1 = 0.
Il problema però è che questa equazione non ha nessuna soluzione in R,infatti riscrivendola in questo modo x^2 = -(1/3) te ne accorgi subito.
Non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo,questo significa che,l'ipotesi iniziale dell'esistenza di due soluzioni in R è falsa.
L'esercizio è svolto correttamente?
Il Teorema di Rolle lo devi usare per dimostrare che la soluzione è unica.Innanzitutto ti dico che esiste un teorema,il Teorema fondamentale dell'algebra che afferma che ogni equazione di grado n
ha esattamente n soluzioni,ognuna contata con la propria molteplicità.
Questo significa che l'equazione 3x^3 + x + 9 = 0 ha 3 soluzioni e non
una come hai detto tu.In matematica bisogna essere precisi.
Se consideri solo le soluzioni reali,allora si,ma lo devi dire,ok?
Cmq veniamo al problema,per dimostrare che la soluzione c'è e che appartiene all'intervallo [-2,1],la collega credo sia stata abbastanza esauriente,per quanto riguarda invece la dimostrazione dell'unicità invece no,quindi te lo dimostro io.Usando appunto il teorema di Rolle.
Esso dice che una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b),se assume valori uguali agli estremi,allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo (a,b) in cui la derivata si annulla,cioè f '(c) = 0.
Ragioniamo per assurdo,supponiamo che,oltre alla soluzione che hai gia trovato ne esista un'altra e facciamo vedere che questo è impossibile.Chiamo x1 la soluzione che sta nell'intervallo [-2,1] e x2
un'altra ipotetica soluzione.Adesso,premesso che la funzione è dappertutto continua e derivabile,considero l'intervallo [x1,x2].
la funzione allora è continua e derivabile in quest'intervallo,ovviamente.
Siccome x1 e x2 sono soluzioni dell'equazione x^3+x+9=0 significa
che f(x1)=f(x2)=0,giusto?
Allora applichiamo Rolle,il teorema ci dice che deve esserci per forza un punto c in [x1,x2] per cui f '(c)=0.Allora calcoliamo la derivata della
nostra funzione che è f '(x) = 3x^2 + 1.
Ci sei fin qui?
Adesso proviamo a cercare questo punto c,siccome f '(c) deve essere
zero,dobbiamo semplicemente trovare le soluzioni dell'equazione
3x^2 + 1 = 0.
Il problema però è che questa equazione non ha nessuna soluzione in R,infatti riscrivendola in questo modo x^2 = -(1/3) te ne accorgi subito.
Non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo,questo significa che,l'ipotesi iniziale dell'esistenza di due soluzioni in R è falsa.
L'esercizio è svolto correttamente?
Risposte
Ciao Suv, oggi siamo mattinieri, tu scrivi alle 2 e io ti rispondo alle 6 e mezza (in realtà sto reistallando XP sul fisso di casa dalle 5.30, non ci ho dormito stanotte al pensiero che non mi funziona, ma io sono un tipo strano e a tratti nerdoso anche se le mie conoscenze sono infime 
).
Comunque
in genere non si fa con il teorema di Rolle, ma usare Rolle per questi esercizi è una finezza che a me piace molto a dire il vero.
In analisi complessa. In analisi I, o comunque in $\RR$ non è proprio così.
La funzione $f(x)=x^3+1$ ha una sola soluzione reale e 2 complesse (puoi scomporla come somma di cubi se ti va e vedere che riporta quanto ho scritto ).
Posso domandarti con chi ce l'hai?
(Si fa per sdrammatizzare, comunque
).
$f(-2)=-8-2+9=-1$
$f(1)=1+1+9=11$
direi che c'è una soluzione, infatti.
Sì, è svolto correttamente ed è uno svolgimento piuttosto elegante.
In genere, in modo più sbrigativo, appurato che c'è uno zero si vede se la derivata prima nell'intervallo è sempre positiva (o sempre negativa). In tal caso la soluzione è per forza unica dal momento che la funzione di partenza è, dunque, sempre crescente (o sempre decrescente), quindi se interseca l'asse $x$ lo fa una volta sola.
).Comunque
"Suv":
Il Teorema di Rolle lo devi usare per dimostrare che la soluzione è unica.
in genere non si fa con il teorema di Rolle, ma usare Rolle per questi esercizi è una finezza che a me piace molto a dire il vero.
"Suv":
Innanzitutto ti dico che esiste un teorema,il Teorema fondamentale dell'algebra che afferma che ogni equazione di grado n
ha esattamente n soluzioni,ognuna contata con la propria molteplicità.
In analisi complessa. In analisi I, o comunque in $\RR$ non è proprio così.
La funzione $f(x)=x^3+1$ ha una sola soluzione reale e 2 complesse (puoi scomporla come somma di cubi se ti va e vedere che riporta quanto ho scritto
)."Suv":
Questo significa che l'equazione 3x^3 + x + 9 = 0 ha 3 soluzioni e non
una come hai detto tu.In matematica bisogna essere precisi.
Se consideri solo le soluzioni reali,allora si, ma lo devi dire, ok?
Posso domandarti con chi ce l'hai?
(Si fa per sdrammatizzare, comunque
)."Suv":
Cmq veniamo al problema,per dimostrare che la soluzione c'è e che appartiene all'intervallo [-2,1],la collega credo sia stata abbastanza esauriente,per quanto riguarda invece la dimostrazione dell'unicità invece no,quindi te lo dimostro io.Usando appunto il teorema di Rolle.
$f(-2)=-8-2+9=-1$
$f(1)=1+1+9=11$
direi che c'è una soluzione, infatti.
"Suv":
Non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo,questo significa che,l'ipotesi iniziale dell'esistenza di due soluzioni in R è falsa.
L'esercizio è svolto correttamente?
Sì, è svolto correttamente ed è uno svolgimento piuttosto elegante.
In genere, in modo più sbrigativo, appurato che c'è uno zero si vede se la derivata prima nell'intervallo è sempre positiva (o sempre negativa). In tal caso la soluzione è per forza unica dal momento che la funzione di partenza è, dunque, sempre crescente (o sempre decrescente), quindi se interseca l'asse $x$ lo fa una volta sola.
Il testo riportato sembra tanto provenire da uno scambio di mail tra uno studente ed un docente o da uno sbobinamento di [strike]un'intercettazione ambientale[/strike] una registrazione fatta durante un ricevimento... Non credo sia il massimo della vita riportare integralmente su un forum questo tipo di contenuti, ma tant'è.
Ad ogni modo, probabilmente la strada più semplice per dimostrare l'unicità della soluzione ad un'equazione in un intervallo \(I\) consiste nel far vedere che 1 la soluzione esiste in \(I\) e 2 che la funzione al primo membro è strettamente monotona in \(I\).
Per il punto 1 basta conoscere e saper applicare il teorema degli zeri; per il punto 2 basta saper riconoscere che la funzione a primo membro dell'equazione è "abbastanza regolare" in \(I\) e conoscere un po' di fatti base di Calcolo Differenziale.
Nel tuo caso, la \(f(x)=x^3+x+9\) è continua in \(I=[-2,1]\) ed ha \(f(-2)=-1<0<11=f(1)\), quindi per il teorema degli zeri esiste certamente qualche punto \(x_0\in ]-2,1[\) tale che \(f(x_0)=0\); questo accomoda il punto 1.
D'altro canto, la funzione \(f\) è un polinomio, quindi essa è derivabile ovunque in \(]-2,1[\), la sua derivata essendo \(f^\prime (x) = 3x^2+1\); visto che \(f^\prime (x)>0\) in \(]-2,1[\), la \(f\) è strettamente crescente in \([-2,1]\) e dunque non può assumere lo stesso valore in punti distinti; da ciò segue l'unicità del punto \(x_0\) determinato sopra, ossia il punto 2.
Ovviamente, se non conosci ancora il criterio di monotonia, un'altra strada praticabile è usare il teorema di Rolle così come ti hanno mostrato.
Ad ogni modo, probabilmente la strada più semplice per dimostrare l'unicità della soluzione ad un'equazione in un intervallo \(I\) consiste nel far vedere che 1 la soluzione esiste in \(I\) e 2 che la funzione al primo membro è strettamente monotona in \(I\).
Per il punto 1 basta conoscere e saper applicare il teorema degli zeri; per il punto 2 basta saper riconoscere che la funzione a primo membro dell'equazione è "abbastanza regolare" in \(I\) e conoscere un po' di fatti base di Calcolo Differenziale.
Nel tuo caso, la \(f(x)=x^3+x+9\) è continua in \(I=[-2,1]\) ed ha \(f(-2)=-1<0<11=f(1)\), quindi per il teorema degli zeri esiste certamente qualche punto \(x_0\in ]-2,1[\) tale che \(f(x_0)=0\); questo accomoda il punto 1.
D'altro canto, la funzione \(f\) è un polinomio, quindi essa è derivabile ovunque in \(]-2,1[\), la sua derivata essendo \(f^\prime (x) = 3x^2+1\); visto che \(f^\prime (x)>0\) in \(]-2,1[\), la \(f\) è strettamente crescente in \([-2,1]\) e dunque non può assumere lo stesso valore in punti distinti; da ciò segue l'unicità del punto \(x_0\) determinato sopra, ossia il punto 2.
Ovviamente, se non conosci ancora il criterio di monotonia, un'altra strada praticabile è usare il teorema di Rolle così come ti hanno mostrato.
grazie mille ad entrambi, in verità è la risoluzione di un quesito prelevato da un sito answers, ero quasi certo che fosse corretto ma volevo avere conferma.
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