Applicazione Teorema di de l'Hopital e stime asintotiche
Salve a tutti, sto svolgendo alcuni esercizi incentrati sull'applicazione del teorema di de l'hopital ma ho incontrato alcune difficolta nell'applicare, dove necessario e possibile, le stime asintotiche nel senso che pur applicandole, mi portano fuori strada e ad un risultato non corretto del limite. Allego limite e svolgimento proposto dall'eserciziario per spiegarmi meglio.
Al denominatore, viene applicato $ sin ^x~ x^2 $ ma il numeratore viene lasciato cosi com'è. Questo modo di procedere è una costante nelle risoluzioni dell'eserciziario. Le prime volte, effettivamente, semplificando dove possibile anche il numeratore mediante stime asintotiche, il risultato finale del limite non era corretto. Dove sbaglio? Mi è sfuggito qualcosa in merito alle stime oppure è una condizione che si presenta in questo contesto?
Allego altro limite di esempio.
$ lim_(x -> 0) (root(3)(1+x)-e^x)/(root(3)(x^2)(e^(root(3)x)-1) $ che posso semplificare, mediante stima asintotica al denominatore, $ lim_(x -> 0) (root(3)(1+x)-e^x)/(x $ e a questo punto noto che ho difficoltà a capire come andare avanti. Ho percorso diverse strade sbagliate ma non riesco effettivamente a capire dove sia l'errore. In particolare modo, anche qui, perché non posso con qualche passaggio algebrico applicare la stima anche al numeratore? Grazie a chi vorrà aiutarmi.
Al denominatore, viene applicato $ sin ^x~ x^2 $ ma il numeratore viene lasciato cosi com'è. Questo modo di procedere è una costante nelle risoluzioni dell'eserciziario. Le prime volte, effettivamente, semplificando dove possibile anche il numeratore mediante stime asintotiche, il risultato finale del limite non era corretto. Dove sbaglio? Mi è sfuggito qualcosa in merito alle stime oppure è una condizione che si presenta in questo contesto?
Allego altro limite di esempio.
$ lim_(x -> 0) (root(3)(1+x)-e^x)/(root(3)(x^2)(e^(root(3)x)-1) $ che posso semplificare, mediante stima asintotica al denominatore, $ lim_(x -> 0) (root(3)(1+x)-e^x)/(x $ e a questo punto noto che ho difficoltà a capire come andare avanti. Ho percorso diverse strade sbagliate ma non riesco effettivamente a capire dove sia l'errore. In particolare modo, anche qui, perché non posso con qualche passaggio algebrico applicare la stima anche al numeratore? Grazie a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Evidentemente hai usato stime imprecise… Ti sarai fermato ad ordini troppo bassi nello sviluppo di Taylor.
Ciao pcnf16,
Beh a questo punto è molto semplice, si può risolvere anche coi limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0} (root(3)(1+x)-e^x)/x = \lim_{x \to 0} (root(3)(1+x) - 1 - (e^x - 1))/x = \lim_{x \to 0} (root(3)(1+x) - 1)/x - (e^x - 1)/x = 1/3 - 1 = - 2/3 $
"pcnf16":
a questo punto noto che ho difficoltà a capire come andare avanti
Beh a questo punto è molto semplice, si può risolvere anche coi limiti notevoli:
$\lim_{x \to 0} (root(3)(1+x)-e^x)/x = \lim_{x \to 0} (root(3)(1+x) - 1 - (e^x - 1))/x = \lim_{x \to 0} (root(3)(1+x) - 1)/x - (e^x - 1)/x = 1/3 - 1 = - 2/3 $
Ciao pilloeffe, ci sono arrivato dopo alcuni tentativi alla tua stessa soluzione, in attesa di ricevere un riscontro dal forum. Purtroppo, il problema di fondo è cercare di imboccare la giusta strada al primo tentativo in modo da evitare di sbagliare il limite in sede di esame 
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