Applicazione teorema della farfalla

[liberatorimatteo]

Sto facendo un esercizio e ho provato a risolverlo in più modi per esercitarmi. L'esercizio è
Dimostrare o confutare che la funzione $f(x)=xln(x)$ è uniformemente continua in $(0,+\infty)$

Ho provato a vedere se è lipschitziana ma non trovo alcuna strada ne per dimostare che lo è ne che non lo è (aldilà dell'esercizio mi piacerebbe se potreste suggerirmi come dimostrare o confutare che $f(x)=xln(x)$ è lipschitziana in $(0,+\infty)$)
La derivata non è limitata, quindi non posso dire nulla, sulla lipschitzianità.
Non esistono finiti i limiti agli estremi quindi non posso usare Heine-Cantor "esteso".
La funzione non ha asintoti a $+\infty$ quindi non posso usare il teorema dell'asintoto

Veniamo ora al teorema della farfalla (o crescita al più lineare) che dice:

Sia $f:[a,+oo) \to RR$ una funzione uniformemente continua in $[a, +oo)$ allora

$EEm,q\inRR_(>=0): |f(x)|

Ho applicato tale teorema in questo modo:
Se, per assurdo $f(x)=xln(x)$ fosse uniformemente continua in $(0,+\infty)$ allora $EEm,q\inRR_(>=0):|xln(x)| |ln(x)|+oo$, assurdo. Quindi $f(x)=xln(x)$ non è uniformemente continua in $(0,+\infty)$.

Però ora mi è venuto un dubbio, nel teorema della farfalla si parla di un intervallo chiuso a destra invece il mio è aperto, posso utilizzarlo lo stesso? Perché?

Se il teorema della farfalla non posso applicarlo non mi resta che trovare le due successioni. Allora...
Considero le successioni $x_n=e^n$ e $y_n=e^n+1/n$, chiaramente $|x_n-y_n|\to0$ inoltre

$|f(x_n)-f(y_n)|=|(e^n+1/n)ln(e^+1/n)-e^n ln(e^n)|=$
$|e^n(ln(e^n+1/n)-ln(e^n))+1/nln(e^n+1/n)|=$
$|e^n ln(1+1/(e^n n))+1/n(lne^n+ln(1+1/(e^n n)))|=$
$|1/n+1+1/(e^n n) + o(1/n)| \to1\ne0$

Quindi non è uniformemente continua

[otta96]

"Freebulls":La derivata non è limitata, quindi non posso dire nulla, sulla lipschitzianità.

Sbagliato, puoi dire che non è lipschitziana.

Se, per assurdo $f(x)=xln(x)$ fosse uniformemente continua in $(0,+\infty)$ allora $EEm,q\inRR_(>=0):|xln(x)| |ln(x)|+oo$, assurdo. Quindi $f(x)=xln(x)$ non è uniformemente continua in $(0,+\infty)$.

Perfetto.

Però ora mi è venuto un dubbio, nel teorema della farfalla si parla di un intervallo chiuso a destra invece il mio è aperto, posso utilizzarlo lo stesso? Perché?

Lo puoi applicare perché anche se la funzione è definita in $(0,+\infty)$, la puoi estendere per continuità in $0$, dato che il limite esiste finito.

Se il teorema della farfalla non posso applicarlo non mi resta che trovare le due successioni. Allora...
Considero le successioni $x_n=e^n$ e $y_n=e^n+1/n$, chiaramente $|x_n-y_n|\to0$ inoltre

$|f(x_n)-f(y_n)|=|(e^n+1/n)ln(e^+1/n)-e^n ln(e^n)|=$
$|e^n(ln(e^n+1/n)-ln(e^n))+1/nln(e^n+1/n)|=$
$|e^n ln(1+1/(e^n n))+1/n(lne^n+ln(1+1/(e^n n)))|=$
$|1/n+1+1/(e^n n) + o(1/n)| \to1\ne0$

Quindi non è uniformemente continua

Anche questo è fatto bene.

[liberatorimatteo]

Ok grazie mille!