Applicazione teorema convergenza dominata o Beppo Levi
Salve, avrei bisogno ancora di una delucidazione, questa volta per ciò che riguarda il seguente argomento.
Suppongo di avere un
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(+infty) f_n(x)dx$
e per risolverlo vado a vedere se le $f_n(x)$ verificano le ipotesi di uno dei due teoremi, partendo dal verificare se è misurabile o meno e così via. Ma se dovessi avere:
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(n) f_n(x)dx$,
quindi come estremi di integrazione ho $(0,n)$ e non più $(0,+infty)$ devo apportare delle modifiche alla successione di funzioni integranda, giusto? Faccio un esempio in cui forse riesco ad esprimermi meglio.
Suppongo di avere
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(n) f_n(x)dx$ con
$f_n(x)= (1-x/n)e^(x/2)$
dovrò riscrivere $f_n(x)$ nel seguente modo
$f_n(x)= (1-x/n)e^(x/2)chi_[0,n](x)$ e quindi l'integrale diventerà
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(+infty) (1-x/n)e^(x/2)\chi_[0,n](x)dx$
E' corretto quanto scritto? Se fosse corretto
quando vado a studiare la successione di funzioni per vedere se e le ipotesi di quale teorema soddisfa, in particolare, quando studio la monotonia, se dimostro che $1-x/n$ e $e^(x/2)$ sono monotone crescenti, devo farlo anche con $\chi_[0,n]$?
Suppongo di avere un
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(+infty) f_n(x)dx$
e per risolverlo vado a vedere se le $f_n(x)$ verificano le ipotesi di uno dei due teoremi, partendo dal verificare se è misurabile o meno e così via. Ma se dovessi avere:
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(n) f_n(x)dx$,
quindi come estremi di integrazione ho $(0,n)$ e non più $(0,+infty)$ devo apportare delle modifiche alla successione di funzioni integranda, giusto? Faccio un esempio in cui forse riesco ad esprimermi meglio.
Suppongo di avere
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(n) f_n(x)dx$ con
$f_n(x)= (1-x/n)e^(x/2)$
dovrò riscrivere $f_n(x)$ nel seguente modo
$f_n(x)= (1-x/n)e^(x/2)chi_[0,n](x)$ e quindi l'integrale diventerà
$\lim_{n \to \infty} \int_0^(+infty) (1-x/n)e^(x/2)\chi_[0,n](x)dx$
E' corretto quanto scritto? Se fosse corretto
quando vado a studiare la successione di funzioni per vedere se e le ipotesi di quale teorema soddisfa, in particolare, quando studio la monotonia, se dimostro che $1-x/n$ e $e^(x/2)$ sono monotone crescenti, devo farlo anche con $\chi_[0,n]$?
Risposte
Ciao, si è tutto giusto. A rigore tu devi verificare le ipotesi di uno dei tuoi teoremi su tutta
\[ f_n(x) := \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggl ) e^{\frac{x}{2}} \chi_{[0,n]} (x) \]
\[ f_n(x) := \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggl ) e^{\frac{x}{2}} \chi_{[0,n]} (x) \]
\[ f_n(x) := \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggl ) e^{\frac{x}{2}} \chi_{[0,n]} (x) \]
Innanzitutto grazie mille per la risposta Bremen000, mi chiedo però, quando si tratta di verificare se è monotona crescente per una eventuale applicazione di Beppo Levi, concentrandomi un attimo solo su $\chi_[0,n](x)$, come posso procedere? Risulterà sicuramente essere $\chi_[0,n](x)<=\chi_[0,n+1](x)$ ?
Oppure se mi trovassi a dover verificare le ipotesi del T.C.D, nel cercare la $g(x)$ misurabile e sommabile tale che $|f_n(x)|<_g(x)$ come mi comporto sempre con $ \chi_[0,n](x)$?
Perchè, se avessi una $chi_[0,1+1/n]$, quindi un intervallo dove l'altro estremo ha un "limite", potrei maggiorarla con $chi_[0,2](x)$. Ma nel primo caso non saprei come "liberarmi" della n...
"Bremen000":
Ciao, si è tutto giusto. A rigore tu devi verificare le ipotesi di uno dei tuoi teoremi su tutta
\[ f_n(x) := \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggl ) e^{\frac{x}{2}} \chi_{[0,n]} (x) \]
Innanzitutto grazie mille per la risposta Bremen000, mi chiedo però, quando si tratta di verificare se è monotona crescente per una eventuale applicazione di Beppo Levi, concentrandomi un attimo solo su $\chi_[0,n](x)$, come posso procedere? Risulterà sicuramente essere $\chi_[0,n](x)<=\chi_[0,n+1](x)$ ?
Oppure se mi trovassi a dover verificare le ipotesi del T.C.D, nel cercare la $g(x)$ misurabile e sommabile tale che $|f_n(x)|<_g(x)$ come mi comporto sempre con $ \chi_[0,n](x)$?
Perchè, se avessi una $chi_[0,1+1/n]$, quindi un intervallo dove l'altro estremo ha un "limite", potrei maggiorarla con $chi_[0,2](x)$. Ma nel primo caso non saprei come "liberarmi" della n...
"antemysya":
[...] Risulterà sicuramente essere $ \chi_[0,n](x)<=\chi_[0,n+1](x) $ ? [...]
Be' si, se ci pensi un momento è ovvio. Guarda cosa valgono quelle due funzioni negli intervalli \( [0,n] \) , \( (n, n+1] \) e \( (n+1, + \infty) \).
"antemysya":
[...]
Oppure se mi trovassi a dover verificare le ipotesi del T.C.D, nel cercare la $ g(x) $ misurabile e sommabile tale che $ |f_n(x)|<= g(x) $ come mi comporto sempre con \( \chi_{[0,n]}(x) \)? [...]
Una considerazione generale che si può fare è che, certamente, \( \chi_{[0,n]}(x) \le 1 \) per ogni \( x \in X \) (quale che sia l'insieme $X$ dove integri). Chiaramente poi dipende da caso a caso quale sia la maggiorazione giusta.
"antemysya":
[...]
Perchè, se avessi una $ chi_[0,1+1/n] $, quindi un intervallo dove l'altro estremo ha un "limite", potrei maggiorarla con $ chi_[0,2](x) $. Ma nel primo caso non saprei come "liberarmi" della n...
Attento che la maggiorazione va fatta sulle $y$ e non sulle $x$. Non vorrei ti confondessi. Prova a postare un esempio e vediamo di capire cosa non ti torna!
P.S. : questo post è un rarissimo caso di post di analisi superiore in analisi di base!!!
"Bremen000":
P.S. : questo post è un rarissimo caso di post di analisi superiore in analisi di base!!!
Attento che la maggiorazione va fatta sulle $y$ e non sulle $x$. Non vorrei ti confondessi. Prova a postare un esempio e vediamo di capire cosa non ti torna!
Vero, quindi non ha senso in questo contesto quello che ho scritto.
Allora...riporto come esempio, più o meno, l'integrale di prima:
$ int_0^n ( 1- x/n ) e^-(x/2)= int_0^(+infty) ( 1- x/n ) e^-(x/2) \chi_[0,n] (x) $
$1)$ La $f_n$ è misurabile poichè prodotto di funzioni misurabili
$2)$ La $f_n$ è non negativa?
_ $e^-(x/2)>=0 AA x in (0,+infty)$;
_ $chi_[0,n](x)$ è una funzione semplice, sara quindi una non negativa;
_ $( 1- x/n )>=0$ ma sinceramente mi è venuto un dubbio ANCHE sulla non negatività di tale funzione. E' davvero sempre non negativa $AA x in (0,+infty)$?
E poi devo distinguere
$f(x)={(1-x/n, if x in (0,n)),(0, if x in (n,+infty)):$
$3)$ risulta essere $f_n(x)<=f_(n+1)(x)$, infatti $( 1- x/n )chi_[0,n] (x)<=( 1- x/(n+1)chi_[0,n+1] (x) )$;
In tali ipotesi posso applicare il teorema della convergenza monotona.
Oppure, quando parlavo di
"artemysya":
[...]
Perchè, se avessi una $chi_[0,1+1/n](x)$, quindi un intervallo dove l'altro estremo ha un "limite", potrei maggiorarla con $chi_[0,2](x)$. Ma nel primo caso non saprei come "liberarmi" della n...
Ho una $f_n=(sen n)/n chi_[0,1+1/n](x)$ la quale viene maggiorata con una sommabile e misurabile $g(x) | |f_n(x)|<=g(x)$ tale $g(x)=1 chi_[0,2]$
"antemysya":
[...]
$ 1) $ La $ f_n $ è misurabile poiché prodotto di funzioni misurabili.
[...]
Giusto. Perché sono misurabili?
"antemysya":
[...]
_ $ e^-(x/2)>=0 AA x in (0,+infty) $;[...]
Giusto.
"antemysya":
[...]
_ $ chi_[0,n](x) $ è una funzione semplice, sara quindi una non negativa; [...]
Vabbè, semplicemente può assumere solo i valori $0$ e $1$!
"antemysya":
[...]
_ $ ( 1- x/n )>=0 $ ma sinceramente mi è venuto un dubbio ANCHE sulla non negatività di tale funzione. E' davvero sempre non negativa $ AA x in (0,+infty) $?
[...]
Ovviamente no!
"antemysya":
[...]
$ 2) $ La $ f_n $ è non negativa?
[...]
Ovviamente sì! Perché?
"antemysya":
[...]
$ 3) $ risulta essere $ f_n(x)<=f_(n+1)(x) $, infatti $ ( 1- x/n )chi_[0,n] (x)<=( 1- x/(n+1)chi_[0,n+1] (x) ) $;
In tali ipotesi posso applicare il teorema della convergenza monotona.
[...]
Giusto.
Per il resto mi sfugge cosa tu voglia dire. Quella maggiorazione è corretta e se l'insieme su cui integri fosse \( [0,2] \) andrebbe benissimo per applicare il teorema della convergenza dominata, ma non so se è quello che volevi sapere.
Per il resto, ricontrolla come hai scritto il post: c'è un passaggio incomprensibile che credo volesse essere un sistema ma non si capisce.
"Bremen000":
[quote="antemysya"][...]
$ 1) $ La $ f_n $ è misurabile poiché prodotto di funzioni misurabili.
[...]
Giusto. Perché sono misurabili?
[/quote]
Perchè prodotto di continue in un insieme misurabile
$1$
"Bremen000":
[quote="antemysya"][...]
_ $ ( 1- x/n )>=0 $ ma sinceramente mi è venuto un dubbio ANCHE sulla non negatività di tale funzione. E' davvero sempre non negativa $ AA x in (0,+infty) $?
[...]
Ovviamente no!
[/quote]
$2$
"Bremen000":
[quote="antemysya"][...]
$ 2) $ La $ f_n $ è non negativa?
[...]
Ovviamente sì! Perché?
[/quote]
Ok...questi due punti $ 1$ e $2 $ non mi sono chiari. Cioè non le sue risposte, ma come faccio ad affermare che la $f_n(x)$ è non negativa nell'intervallo che sto considerando, se non sono convinta della non negatività di $ ( 1- x/n )$. A meno che non consideri $ ( 1- x/n ) chi_[0,n](x)$ sempre positiva??????????
"Bremen000":
Per il resto mi sfugge cosa tu voglia dire. Quella maggiorazione è corretta e se l'insieme su cui integri fosse \( [0,2] \) andrebbe benissimo per applicare il teorema della convergenza dominata, ma non so se è quello che volevi sapere.
L'integrale è lungo tutto $RR$, ma posso maggiorare direttamente con $1$?
"Bremen000":
Per il resto, ricontrolla come hai scritto il post: c'è un passaggio incomprensibile che credo volesse essere un sistema ma non si capisce.
Sì, più o meno tale voleva essere, ma non sono riuscita a scriverlo. Doveva essere:
$1-x/n={(1-x/n,if x in (0,n)),(0, if x in (n,+infty)) :}$
"antemysya":
[...]
Ok...questi due punti $ 1 $ e $ 2 $ non mi sono chiari. Cioè non le sue risposte, ma come faccio ad affermare che la $ f_n(x) $ è non negativa nell'intervallo che sto considerando, se non sono convinta della non negatività di $ ( 1- x/n ) $. A meno che non consideri $ ( 1- x/n ) chi_[0,n](x) $ sempre positiva??????????
[...]
Dammi del tu per l'amor di dio! Ho scritto così per invitarti a riflettere, non è che tutti e tre i "pezzi" devono essere sempre positivi separatamente affinché il loro prodotto lo sia. Infatti
\[ f_n(x) = \begin{cases} \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggr ) e^{-\frac{x}{2}} \quad & \text{ se } 0 \le x \le n \\ 0 \quad &\text { se } x > n \end{cases} \]
e chiaramente \( f_n(x) \ge 0 \) per ogni $ x >n $. D'altra parte, se \( 0 \le x \le n \), allora \( e^{-\frac{x}{2}} \ge 0 \) ma pure \( \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggr ) \ge 0 \) e quindi \( f_n(x) \ge 0 \) per ogni \( x \in [0, + \infty) \).
"antemysya":
[...]
L'integrale è lungo tutto $ RR $, ma posso maggiorare direttamente con $ 1 $?
[...]
La funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto 1 \) ti pare sommabile su \( \mathbb{R} \) ?
"antemysya":
[...]Doveva essere:
$ 1-x/n={(1-x/n,if x in (0,n)),(0, if x in (n,+infty)) :} $
Scritto così non ha ovviamente senso ma ho capito cosa vuoi dire. Dovresti ritrovarti con quello che ho scritto poco sopra.
"Bremen000":
Dammi del tu per l'amor di dio![...]
Scusami...abitudine, soprattutto nei confronti di chi mi insegna.
"Bremen000":
Ho scritto così per invitarti a riflettere, non è che tutti e tre i "pezzi" devono essere sempre positivi separatamente affinché il loro prodotto lo sia. Infatti
\[ f_n(x) = \begin{cases} \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggr ) e^{-\frac{x}{2}} \quad & \text{ se } 0 \le x \le n \\ 0 \quad &\text { se } x > n \end{cases} \]
e chiaramente \( f_n(x) \ge 0 \) per ogni $ x >n $. D'altra parte, se \( 0 \le x \le n \), allora \( e^{-\frac{x}{2}} \ge 0 \) ma pure \( \biggl ( 1- \frac{x}{n} \biggr ) \ge 0 \) e quindi \( f_n(x) \ge 0 \) per ogni \( x \in [0, + \infty) \).
Alcune cose, a volte, scritte in un certo modo possono sfuggire, ma riscritte poi diversamente ti "aprono gli occhi". Io non trovavo $(1-x/n)>=0$ poichè la reputavo a volte anche negativa. Ma ora è chiaro.
"Bremen000":
La funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto 1 \) ti pare sommabile su \( \mathbb{R} \) ?[...]
Eh no, assolutamente no! Sono stata troppo precipitosa...
Non so procedere, non vorrei dire altre sciocchezze.
"Bremen000":
[...]
Scritto così non ha ovviamente senso ma ho capito cosa vuoi dire. Dovresti ritrovarti con quello che ho scritto poco sopra.
Infatti, mi ritrovo proprio con quello.
Ciao, scusa penso di aver letto male, se l'insieme su cui integri è $\mathbb{R}$ ma maggiori con \( g= \chi_{[0,2]} \) va ovviamente bene!
"Bremen000":
Ciao, scusa penso di aver letto male, se l'insieme su cui integri è $\mathbb{R}$ ma maggiori con \( g= \chi_{[0,2]} \) va ovviamente bene!
Scusami, ancora un'ultima cosa:
Tale integrale sarà uguale a $2$, giusto?
E questa operazione, ovvero la maggiorazione, l'ho potuta fare perche$[0,2] sub RR$? Data la tua precisazione di prima, perchè ad essere sincera io non ci avevo pensato.
"Bremen000":
Ciao, scusa penso di aver letto male, se l'insieme su cui integri è $\mathbb{R}$ ma maggiori con \( g= \chi_{[0,2]} \) va ovviamente bene!
Ah ok, grazie
Ancora un'ultima cosa, scusami per favore, per capire se ho davvero capito:
Tale integrale sarà uguale a $2$, giusto?
E questa operazione, ovvero la maggiorazione, l'ho potuta fare perchè $[0,2]⊂RR$? Data la tua precisazione di prima, perchè ad essere sincera io non ci avevo pensato.
Ciao, la maggiorazione la puoi fare ed è valida perché
\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{[0,2]} = 2 \]
e quindi \( \chi_{[0,2]} \in L^1(\mathbb{R}) \) che è quello che ti serve.
\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{[0,2]} = 2 \]
e quindi \( \chi_{[0,2]} \in L^1(\mathbb{R}) \) che è quello che ti serve.
Ciao, grazie mille per tutto l'aiuto Bremen000
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