Applicazione limiti notevoli
Buonasera ho da svolgere questi due limiti sfruttando i limiti notevoli e i teoremi dei limiti:
$\lim_{x \to \0}(sin(4x))/(3x) ; \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(sin(x))^2$
Nel caso del primo limite ho verificato con de l'Hôpital e dovrebbe venire $4/3$ e ho individuato il limite notevole che dovrei applicare che è: $\lim_{x \to \0}(sin(x))/(x)=1$. Al risultato ci arrivo a colpo d'occhio, ma non credo basti. Infatti nel caso del secondo limite non so come muovermi. So che il risultato è $9/2$ perché l'ho calcolato sempre con de l'Hôpital e so anche che il limite notevole associato è: $\lim_{x \to \0}(1-cos(x))/(x)^2$. Mi servirebbe però sapere come applicare in maniera rigorosa i sopracitati limiti notevoli. Grazie dell'aiuto e buona serata.
$\lim_{x \to \0}(sin(4x))/(3x) ; \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(sin(x))^2$
Nel caso del primo limite ho verificato con de l'Hôpital e dovrebbe venire $4/3$ e ho individuato il limite notevole che dovrei applicare che è: $\lim_{x \to \0}(sin(x))/(x)=1$. Al risultato ci arrivo a colpo d'occhio, ma non credo basti. Infatti nel caso del secondo limite non so come muovermi. So che il risultato è $9/2$ perché l'ho calcolato sempre con de l'Hôpital e so anche che il limite notevole associato è: $\lim_{x \to \0}(1-cos(x))/(x)^2$. Mi servirebbe però sapere come applicare in maniera rigorosa i sopracitati limiti notevoli. Grazie dell'aiuto e buona serata.
Risposte
Ciao! I limiti notevoli si possono generalizzare: ad esempio, se $f(x) \to 0$ per $x \to 0$ risulta
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left[f(x)\right]}{f(x)} =1$$
Perciò un'idea per risolvere il primo limite potrebbe essere quella di cercare di far comparire il termine $4x$ al denominatore. Prova!
Per il secondo limite si ragiona nello stesso modo. Se hai dubbi, scrivi pure i tuoi svolgimenti e vediamo di rivederli insieme.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left[f(x)\right]}{f(x)} =1$$
Perciò un'idea per risolvere il primo limite potrebbe essere quella di cercare di far comparire il termine $4x$ al denominatore. Prova!
Per il secondo limite si ragiona nello stesso modo. Se hai dubbi, scrivi pure i tuoi svolgimenti e vediamo di rivederli insieme.
Grazie della risposta. Per quanto riguarda il primo limite per avere $4x$ al denominatore posso anche semplicemente aggiungere e sottrarre $x$?
Prego! Purtroppo non funziona, come vedi nella generalizzazione del limite devi avere nell'argomento del seno la stessa quantità presente al denominatore; aggiungendo e sottraendo $x$ hai
$$\frac{\sin(4x)}{4x-x}$$
Perciò non funziona, essendoci quel $-x$ di troppo. L'idea è quella di moltiplicare e dividere per $4x$, ottenendo
$$\frac{\sin(4x)}{3x}=\frac{\sin(4x)}{3x} \cdot 1 =\frac{\sin(4x)}{3x} \frac{4x}{4x}=\frac{\sin(4x)}{4x} \frac{4x}{3x}=\frac{4}{3} \frac{\sin(4x)}{4x}$$
Torna ora? Prova a ragionare in maniera simile per il secondo limite.
$$\frac{\sin(4x)}{4x-x}$$
Perciò non funziona, essendoci quel $-x$ di troppo. L'idea è quella di moltiplicare e dividere per $4x$, ottenendo
$$\frac{\sin(4x)}{3x}=\frac{\sin(4x)}{3x} \cdot 1 =\frac{\sin(4x)}{3x} \frac{4x}{4x}=\frac{\sin(4x)}{4x} \frac{4x}{3x}=\frac{4}{3} \frac{\sin(4x)}{4x}$$
Torna ora? Prova a ragionare in maniera simile per il secondo limite.
Grazie mille sei stato molto gentile. La tua spiegazione mi è chiara. Ma sarai tu a giudicare in base a come ho svolto il secondo limite 
$ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(sin(x))^2 * (3x)^2/(3x)^2 $ $rarr$ $ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(3x)^2 * (3x)^2/(sin(x))^2 $
Per quanto riguarda la prima frazione a questo punto posso applicare il limite notevole e mi viene dunque $1/2$. Per quanto riguarda la seconda frazione, che altre strade ci sono oltre a de l'Hôpital? Perché immagino vada risolta anche questa frazione con un limite notevole. Non posso infatti applicare subito il limite perché altrimenti mi verrebbe la forma indeterminata $[0/0]$.
Posso sfruttare la stima asintotica secondo la quale il $\sin(x)~x$ per $x\to 0$ è proprio $x$? Perché in questo caso mi verrebbe $(9x^2)/x^2$ e potrei semplificare. Grazie ancora.
$ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(sin(x))^2 * (3x)^2/(3x)^2 $ $rarr$ $ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(3x)^2 * (3x)^2/(sin(x))^2 $
Per quanto riguarda la prima frazione a questo punto posso applicare il limite notevole e mi viene dunque $1/2$. Per quanto riguarda la seconda frazione, che altre strade ci sono oltre a de l'Hôpital? Perché immagino vada risolta anche questa frazione con un limite notevole. Non posso infatti applicare subito il limite perché altrimenti mi verrebbe la forma indeterminata $[0/0]$.
Posso sfruttare la stima asintotica secondo la quale il $\sin(x)~x$ per $x\to 0$ è proprio $x$? Perché in questo caso mi verrebbe $(9x^2)/x^2$ e potrei semplificare. Grazie ancora.
Prego! Lo svolgimento che hai proposto è corretto, il tuo dubbio su come calcolare
$$\lim_{x \to 0} \frac{(3x)^2}{(\sin x)^2}$$
Lo puoi risolvere ragionando come nel primo limite che hai proposto: infatti
$$\lim_{x \to 0} \frac{(3x)^2}{(\sin x)^2}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{x^2}{(\sin x)^2}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{1}{\frac{(\sin x)^2}{x^2}}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}$$
Ora, il denominatore è il limite notevole di prima e tende a $1^2=1$. Se hai dei dubbi sul perché puoi calcolare il limite all'interno del quadrato al denominatore come se nulla fosse, ciò è dovuto al fatto che la funzione $x \mapsto x^2$ è una funzione continua.
Sì, puoi anche usare le stime asintotiche, ma diciamo che bisogna sapere bene come si usano o si rischia di fare errori grossolani quando si è inesperti.
L'unico appunto che mi sento di farti (ma è giusto per evitare abitudini scorrette) è che hai scritto "$\to$" anziché "$=$" qui
La freccia $\to$ si usa quando si vuol dire "tende", quindi si usa quando la scrittura di limite è omessa; se usi la scrittura di limite si usano le uguaglianze come ho scritto in questo messaggio.
$$\lim_{x \to 0} \frac{(3x)^2}{(\sin x)^2}$$
Lo puoi risolvere ragionando come nel primo limite che hai proposto: infatti
$$\lim_{x \to 0} \frac{(3x)^2}{(\sin x)^2}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{x^2}{(\sin x)^2}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{1}{\frac{(\sin x)^2}{x^2}}=\lim_{x \to 0} 9 \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}$$
Ora, il denominatore è il limite notevole di prima e tende a $1^2=1$. Se hai dei dubbi sul perché puoi calcolare il limite all'interno del quadrato al denominatore come se nulla fosse, ciò è dovuto al fatto che la funzione $x \mapsto x^2$ è una funzione continua.
Sì, puoi anche usare le stime asintotiche, ma diciamo che bisogna sapere bene come si usano o si rischia di fare errori grossolani quando si è inesperti.
L'unico appunto che mi sento di farti (ma è giusto per evitare abitudini scorrette) è che hai scritto "$\to$" anziché "$=$" qui
"SimoneSc":
$ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(sin(x))^2 * (3x)^2/(3x)^2 $ $rarr$ $ \lim_{x \to \0}(1-cos(3x))/(3x)^2 * (3x)^2/(sin(x))^2 $
La freccia $\to$ si usa quando si vuol dire "tende", quindi si usa quando la scrittura di limite è omessa; se usi la scrittura di limite si usano le uguaglianze come ho scritto in questo messaggio.
Grazie ancora delle esaustive risposte. Svolgerò l'esercizio come mi hai indicato tu perché è molto semplice e lineare. Ti ringrazio anche di non avermi fatto passare l'utilizzo di una simbologia errata. Qualcuno lo potrebbe interpretare come un voler trovare il pelo nell'uovo, io invece ritengo che sia sintomo di grande attenzione e disponibilità da parte tua nell'aiutare gli sbarbatelli come me
@Simonesc
[ot]Grazie mille per le belle parole! Siamo stati, siamo e saremo ancora tutti sbarbatelli; dipende solo dal livello dell'argomento che si sta trattando e dal contesto in cui ci si immerge, quindi l'unica cosa che conta è migliorare sempre per rendere sempre più alta la soglia di sbarbatello relativo che si possiede.
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[ot]Grazie mille per le belle parole! Siamo stati, siamo e saremo ancora tutti sbarbatelli; dipende solo dal livello dell'argomento che si sta trattando e dal contesto in cui ci si immerge, quindi l'unica cosa che conta è migliorare sempre per rendere sempre più alta la soglia di sbarbatello relativo che si possiede.
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