Applicazione integrale curvilineo: trovare la massa

[emaz92]

Un filo è disposto lungo l' intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2=1$ con il piano $x+y+z=0$.Se la densità nel punto $(x,y,z)$ è $x^2$, si determini la massa. Qualche consiglio su come impostarlo? io avevo pensato di mettere a sistema la sfera con il piano per trovare la superficie di intersezione. A quel punto dovrei cercare di integrare lungo la curva trovata la densità per trovare la massa. Non riesco bene a capire però come vada impostato

[emaz92]

ancora non riesco a capire

[emaz92]

up

[ciampax]

"emaz92":Un filo è disposto lungo l' intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2=1$ con il piano $x+y+z=0$.Se la densità nel punto $(x,y,z)$ è $x^2$, si determini la massa. Qualche consiglio su come impostarlo? io avevo pensato di mettere a sistema la sfera con il piano per trovare la superficie di intersezione. A quel punto dovrei cercare di integrare lungo la curva trovata la densità per trovare la massa. Non riesco bene a capire però come vada impostato

Superficie? Quelle sono due superfici, quindi la loro intersezione è una curva! Tra l'altro stai parlando di un FILO e sinceramente, in 34 anni di vita, io un filo che oltre ad essere lungo fosse anche largo non l'ho mai visto!

[emaz92]

"ciampax":[quote="emaz92"]Un filo è disposto lungo l' intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2=1$ con il piano $x+y+z=0$.Se la densità nel punto $(x,y,z)$ è $x^2$, si determini la massa. Qualche consiglio su come impostarlo? io avevo pensato di mettere a sistema la sfera con il piano per trovare la superficie di intersezione. A quel punto dovrei cercare di integrare lungo la curva trovata la densità per trovare la massa. Non riesco bene a capire però come vada impostato

Superficie? Quelle sono due superfici, quindi la loro intersezione è una curva! Tra l'altro stai parlando di un FILO e sinceramente, in 34 anni di vita, io un filo che oltre ad essere lungo fosse anche largo non l'ho mai visto![/quote]
ops.....comunque va bene mettere a sistema per trovare la curva e poi integrare lungo la curva? perchè comunque non mi viene

[Sk_Anonymous]

Prova così:

$\{(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=0):} rarr \{(x^2+y^2+(-x-y)^2=1),(z=-x-y):} rarr \{(2x^2+2y^2+2xy=1),(z=-x-y):}$

$\{(x=sqrt2/2barx-sqrt2/2bary),(y=sqrt2/2barx+sqrt2/2bary):} rarr 2(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary)^2+2(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary)^2+2(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary)(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary)=1 rarr 3barx^2+3bary^2=1$

La curva, infatti, è una circonferenza di raggio $sqrt3/3$.

$I=\int_{0}^{2\pi}sqrt3/3(1/6-1/3cos\phisen\phi)dphi=sqrt3/9\pi$

E' giusto il risultato?

[emaz92]

"speculor":Prova così:

$\{(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=0):} rarr \{(x^2+y^2+(-x-y)^2=1),(z=-x-y):} rarr \{(2x^2+2y^2+2xy=1),(z=-x-y):}$

$\{(x=sqrt2/2barx-sqrt2/2bary),(y=sqrt2/2barx+sqrt2/2bary):} rarr 2(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary)^2+2(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary)^2+2(sqrt2/2barx-sqrt2/2bary)(sqrt2/2barx+sqrt2/2bary)=1 rarr 3barx^2+3bary^2=1$

La curva, infatti, è una circonferenza di raggio $sqrt3/3$.

$I=\int_{0}^{2\pi}sqrt3/3(1/6-1/3cos\phisen\phi)dphi=sqrt3/9\pi$

E' giusto il risultato?

ti ringrazio molto per il tentativo speculor, grazie....il risultato comunque è $2pi/3$

[Quinzio]

La circonferenza ha raggio 1, una sfera di raggio 1 cos'altro può generare ?

[Sk_Anonymous]

Quinzio, hai ragione, perchè il piano passa per il centro della sfera. Nel procedimento c'è un errore, deve essere legato all'elemento di lunghezza. Deve esistere un modo per completare anche così, però potrebbe complicarsi l'integrale. In ogni modo, quando ho detto "La curva, infatti, è una circonferenza di raggio $sqrt3/3$", e sottolineo "infatti", ho proprio detto una bella bischerata.

[emaz92]

"speculor":Quinzio, hai ragione, perchè il piano passa per il centro della sfera. Nel procedimento c'è un errore, deve essere legato all'elemento di lunghezza. Deve esistere un modo per completare anche così, però potrebbe complicarsi l'integrale.

è da un pò che guardo ma non riesco a capire la parametrizzazione speculor, ho capito che la circonferenza non può avere il raggio da te trovato perhè il piano che seziona la sfera passa per il centro ed ha raggio 1, ed ok, ma:
1) perchè quella parametrizzazione?
2)io avevo risolto $2x^2+2y^2+2xy-1=0$ e da qui avevo parametrizzato, solo che l' integrale da calcolare non era esprimibile elementarmente

[Sk_Anonymous]

Ho parametrizzato la circonferenza nelle variabili $barx$ e $bary$, in modo del tutto ingiustificato. Con il metodo "forza bruta" non dovrebbero esserci problemi, a meno che, come tu stesso sostieni, l'integrale sia infattibile. Viceversa, avendo notato che la curva è una circonferenza, avevo pensato di mettermi sul piano della circonferenza con una rotazione nello spazio tridimensionale. Anche così non dovrebbero esserci problemi, a patto di capire quale sia la giusta rotazione. Infine, ho cominciato questa serie di passaggi, pensando di poter trovare una scorciatoia, ma non ero affatto sicuro. Probabilmente, trasformando opportunamente l'elemento di lunghezza, le cose potrebbero tornare, ma se si complica anche l'integrale, allora non serve a niente.

[Sk_Anonymous]

Dall'algebra lineare, lavorando con il piano della circonferenza, uno dei sistemi di riferimento ruotati rispetto al quale l'equazione della circonferenza diventa

$\{(x_1^2+y_1^2=1),(z_1=0):}$

è identificato dai seguenti versori:

$i_1(-sqrt2/2,0,+sqrt2/2)$

$j_1(-sqrt6/6,+sqrt6/3,-sqrt6/6)$

$k_1(-sqrt3/3,-sqrt3/3,-sqrt3/3)$

Quindi:

$\{(x_1=cos\phi),(y_1=sen\phi),(z_1=0):} rarr x^2=(-sqrt2/2x_1-sqrt6/6y_1-sqrt3/3z_1)^2=1/2cos^2\phi+1/6sen^2\phi+sqrt3/3cos\phisen\phi$

L'integrale, di semplice esecuzione, diventa:

$\int_{0}^{2\pi}(1/2cos^2\phi+1/6sen^2\phi+sqrt3/3cos\phisen\phi)d\phi=\int_{0}^{2\pi}(1/3cos^2\phi+1/6)d\phi=2/3\pi$