Applicazione di Stokes
Buongiorno a tutti,
ho il seguente esercizio:
Si considerino il campo vettoriale $ F = (x, y, z^2) $ e la superficie S data dalla frontiera del dominio
$ Ω = {(x, y, z) ∈ R^3| −1 ≤ z ≤−x^2 − y^2} $ .
Trovare il flusso di rot F uscente dalla superficie S privata della parte contenuta in ${z = −1}$, usando prima
il teorema di Stokes e poi la definizione.
Allora $Ω$ è lo spazio tra un paraboloide con concavità verso il basso, (vertice nell'origine) e il piano $z=-1$
Ora non capisco nemmeno come procedere perché a quanto ne so io il flusso del rotore è la circuitazione, ma la formula che dovrei applicare col rotore sul volume del solide vale solo se questo è delimitato da una superficie chiusa o sbaglio? in tal caso avendomi tolto il piano $z=-1$ non ho più una superficie chiusa, come applico il teorema del rotore??
Per quanto riguarda la definizione, a lezione ci hanno mostrato come calcolare direttamente solo la circuitazione di linee (unidimensionali) non superfici! (quelle le abbiamo sempre fatte tramite Stokes) quindi anche in quel caso come dovrei fare? Non saprei che vettore tangente prendere visto che dev'essere una combinazione lineare di due vettori, ma quale tra le infinite possibili combinazioni lineari?
Grazie
ho il seguente esercizio:
Si considerino il campo vettoriale $ F = (x, y, z^2) $ e la superficie S data dalla frontiera del dominio
$ Ω = {(x, y, z) ∈ R^3| −1 ≤ z ≤−x^2 − y^2} $ .
Trovare il flusso di rot F uscente dalla superficie S privata della parte contenuta in ${z = −1}$, usando prima
il teorema di Stokes e poi la definizione.
Allora $Ω$ è lo spazio tra un paraboloide con concavità verso il basso, (vertice nell'origine) e il piano $z=-1$
Ora non capisco nemmeno come procedere perché a quanto ne so io il flusso del rotore è la circuitazione, ma la formula che dovrei applicare col rotore sul volume del solide vale solo se questo è delimitato da una superficie chiusa o sbaglio? in tal caso avendomi tolto il piano $z=-1$ non ho più una superficie chiusa, come applico il teorema del rotore??
Per quanto riguarda la definizione, a lezione ci hanno mostrato come calcolare direttamente solo la circuitazione di linee (unidimensionali) non superfici! (quelle le abbiamo sempre fatte tramite Stokes) quindi anche in quel caso come dovrei fare? Non saprei che vettore tangente prendere visto che dev'essere una combinazione lineare di due vettori, ma quale tra le infinite possibili combinazioni lineari?
Grazie
Risposte
Buongiorno
il teorema di Stokes ci dice che il flusso del rotore attraverso una superficie $Sigma$ è uguale all'integrale di linea( di seconda specie) fatta su $delSigma$ che è il bordi della superficie.
La superficie non deve essere chiusa , anzi il contrario, visto che deve avere un bordo! Quindi :
$int$ $int _Sigma$ $$ $dsigma$ $=$ $int _ (delSigma) $ $ ds$
Nel tuo caso il bordo è la circonferenza che si ottiene tagliando il paraboloide col piano $z=-1$
il primo integrale lo calcoli parametrizzando la superficie, quindi di fatto riconducendoti ad un integrale di superficie, la normale la ottieni facendo il prodotto vettoriale tra i vettori derivata della parametrizzazione. Se non ti viene indicato il verso della normale puoi sceglierlo arbitrariamente, tanto ai fini del risultato cambia solo il segno, però devi essere coerente poi a scegliere il verso opportuno di percorrenza del bordo nell'integrale di linea.
Per il secondo integrale devi parametrizzare la circonferenza a quota $z=-1$ stando attento a rispettare l'orientazione della superficie. In pratica si sceglie il verso con la regola della mano destra, le dita che ruoti ti danno il verso di percorrenza e il pollice il verso della normale.
il teorema di Stokes ci dice che il flusso del rotore attraverso una superficie $Sigma$ è uguale all'integrale di linea( di seconda specie) fatta su $delSigma$ che è il bordi della superficie.
La superficie non deve essere chiusa , anzi il contrario, visto che deve avere un bordo! Quindi :
$int$ $int _Sigma$ $
Nel tuo caso il bordo è la circonferenza che si ottiene tagliando il paraboloide col piano $z=-1$
il primo integrale lo calcoli parametrizzando la superficie, quindi di fatto riconducendoti ad un integrale di superficie, la normale la ottieni facendo il prodotto vettoriale tra i vettori derivata della parametrizzazione. Se non ti viene indicato il verso della normale puoi sceglierlo arbitrariamente, tanto ai fini del risultato cambia solo il segno, però devi essere coerente poi a scegliere il verso opportuno di percorrenza del bordo nell'integrale di linea.
Per il secondo integrale devi parametrizzare la circonferenza a quota $z=-1$ stando attento a rispettare l'orientazione della superficie. In pratica si sceglie il verso con la regola della mano destra, le dita che ruoti ti danno il verso di percorrenza e il pollice il verso della normale.
allora non sono più sicuro di aver compreso il significato del rotore: una circuitazione può avvenire non solo su un percorso "unidimensionale" giusto? Ad esempio uno può richiedere la circuitazione di una superficie sferica giusto? che sarebbe $ int int_("superficie sfera") dx dy =int int int_("volume sfera") dx dy dz $ o mi sbaglio?
Ora a me è stato chiesto il flusso di rotF attraverso S (cioè circuitazione di S??) il quale non dovrebbe equivalere alla circuitazione del bordo di S che a me sembrerebbe essere quello che hai scritto tu...
Ora a me è stato chiesto il flusso di rotF attraverso S (cioè circuitazione di S??) il quale non dovrebbe equivalere alla circuitazione del bordo di S che a me sembrerebbe essere quello che hai scritto tu...
Aspetta stai confondendo 2 cose,
Teorema della divergenza : $int$ $int$ $int_V$ $ text{div}(F) dxdydx=$ $int$ $int_(delV)$ $ dsigma$
Teorema del rotore : $int$ $int_Sigma $ $ dsigma=$ $int_(delSigma) ds$
Dove
-$V$ è il volume
-$delV$ è la superficie che racchiude il volume
-$Sigma$ è la superficie
-$delSigma$ è il bordo della superficie
Il teorema della divergenza si applica a una superficie chiusa e al volume che racchiude, il teorema del rotore si applica ad una linea e alla superficie che 'poggia' su di essa.
La circuitazione è un integrale lungo una linea, quindi solo unidimensionale.
l'integrale di superficie ( puoi pensarlo agalogamente all'integrale su una curva, ma con un grado di libertà in più) è:
$int$ $int_Sigma $ $ dsigma=$ $int$ $int_Omega$ $||(delr)/(delu)xx(delr)/(delv)||dudv$
dove $Omega$ è "l'ombra" sul piano della tua superficie, ovvero il dominio su cui integri l'integrale doppio.
Il flusso:
$int$ $int_Sigma $ $ dsigma$ ed $E$ è un campo vettoriale.
$r$ invece è la parametrizzazione della superficie, in questo caso ad esempio portebbe essere :
$r:Omega->Sigma$ $text { } $ $r={(x=u),(y=v),(z=-u^2-v^2):}$
La normale è $n=((delr)/(delu)xx(delr)/(delv))/(||(delr)/(delu)xx(delr)/(delv)||)$
Quindi nel nostro caso:
$int$ $int_Sigma $ $ dsigma=$ $int$ $int_Omega $ $||(delr)/(delu)xx(delr)/(delv)||dudv$
Come puoi notare la norma dei prodotti vettoriali si semplifica.
E così fai il primo integrale.
Se dovessi avere ancora dubbi chiedi pure!
Teorema della divergenza : $int$ $int$ $int_V$ $ text{div}(F) dxdydx=$ $int$ $int_(delV)$ $
Teorema del rotore : $int$ $int_Sigma $ $
Dove
-$V$ è il volume
-$delV$ è la superficie che racchiude il volume
-$Sigma$ è la superficie
-$delSigma$ è il bordo della superficie
Il teorema della divergenza si applica a una superficie chiusa e al volume che racchiude, il teorema del rotore si applica ad una linea e alla superficie che 'poggia' su di essa.
La circuitazione è un integrale lungo una linea, quindi solo unidimensionale.
l'integrale di superficie ( puoi pensarlo agalogamente all'integrale su una curva, ma con un grado di libertà in più) è:
$int$ $int_Sigma $ $ dsigma=$ $int$ $int_Omega$ $||(delr)/(delu)xx(delr)/(delv)||dudv$
dove $Omega$ è "l'ombra" sul piano della tua superficie, ovvero il dominio su cui integri l'integrale doppio.
Il flusso:
$int$ $int_Sigma $ $
$r$ invece è la parametrizzazione della superficie, in questo caso ad esempio portebbe essere :
$r:Omega->Sigma$ $text { } $ $r={(x=u),(y=v),(z=-u^2-v^2):}$
La normale è $n=((delr)/(delu)xx(delr)/(delv))/(||(delr)/(delu)xx(delr)/(delv)||)$
Quindi nel nostro caso:
$int$ $int_Sigma $ $
Come puoi notare la norma dei prodotti vettoriali si semplifica.
E così fai il primo integrale.
Se dovessi avere ancora dubbi chiedi pure!
intanto ti ringrazio, allora diciamo che la risoluzione dell'esercizio in sè ok l'ho capita mi pare, ma
1) flusso di rotF attraverso S è equivalente a dire circuitazione di S?
2)se la circuitazione è solo unidimensionale, e dunque la circuitazione di una superficie è l'integrale di linea lungo il suo bordo, non esiste una sorta di circuitazione di volume cioè integrale lungo il suo bordo (cioè lungo la superficie che racchiude tale volume)?
Ossia non esiste la seguente relazione? $ int int_(S)dS = int int int_(V) dx dy dz $ con S superficie che racchiude V, T versore tangente a F
3) nel caso come mi pare di capire non esista, uno per calcolare $ int int_(S)dS $ può solo passare attraverso la definizione?
4) se come mi par di capire per superfici chiuse non c'è circuitazione, cosa si intende per "Teorema del rotore di Stokes per superfici chiuse"? (è nel mio programma d'esame e non so da dove salti fuori, nel libro non lo trovo e nemmeno negli appunti)
1) flusso di rotF attraverso S è equivalente a dire circuitazione di S?
2)se la circuitazione è solo unidimensionale, e dunque la circuitazione di una superficie è l'integrale di linea lungo il suo bordo, non esiste una sorta di circuitazione di volume cioè integrale lungo il suo bordo (cioè lungo la superficie che racchiude tale volume)?
Ossia non esiste la seguente relazione? $ int int_(S)
3) nel caso come mi pare di capire non esista, uno per calcolare $ int int_(S)
4) se come mi par di capire per superfici chiuse non c'è circuitazione, cosa si intende per "Teorema del rotore di Stokes per superfici chiuse"? (è nel mio programma d'esame e non so da dove salti fuori, nel libro non lo trovo e nemmeno negli appunti)
1) Esatto.
2)Non esiste una circuitazione su una superficie.
3)Puoi calcolarlo nei 2 modi che ho detto sopra, cioè dalla definizione di flusso , oppure con la circuitazione lungo il bordi della superficie cioè : $int_(delSigma)ds$. Nel tuo caso il bordo è una circonferenza, basta parametrizzarla e calcolare questo integrale come un normalissimo integrale di seconda specie.
4)Non saprei.
2)Non esiste una circuitazione su una superficie.
3)Puoi calcolarlo nei 2 modi che ho detto sopra, cioè dalla definizione di flusso , oppure con la circuitazione lungo il bordi della superficie cioè : $int_(delSigma)
4)Non saprei.
con la 3 intendevo chiedere un'altra cosa, cioè: se voglio fare l'integrale su un'intera superficie che sommi il valore del prodotto scalare tra il campo in un punto della superficie e il versore tangente alla superficie nel medesimo punto, compresi i punti interni della superficie non solo il bordo, come dovrei procedere?
In questo caso in base a quanto è stato detto prima il rotore non è utilizzabile
In questo caso in base a quanto è stato detto prima il rotore non è utilizzabile
Non capisco bene cosa vuoi fare. Vuoi calcolare il flusso di un campo vettoriale su una superficie chiusa?
no, sarebbe il flusso se facessi il prodotto scalare tra campo e la normale alla superficie, invece io sto dicendo il prodotto scalare tra il campo e un versore tangente, non normale, alla superficie
Mi dispiace ma non so come aiutarti..non capisco bene la tua richiesta. Al massimo si può comunque calcolare la lunghezza di una curva su una superficie con la prima forma fondamentale che ci da la metrica sulla superficie. Ma non vado oltre perche non ho approfondito questo aspetto
Ok grazie lo stesso!
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