Applicazione delle formule di Gauss-Green
Ciao a tutti,
ho un esercizio del compito di analisi II che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio con le formule di Gauss-Green:
$\int int_{A} y^2/(1+x) dxdy$ dove A è il semicerchio di raggio 1 posto nel semipiano $x>=0$ e centrato nell'origine.
Vi spiego la prof come l'ha risolto:
$\int int_{A} y^2/(1+x) dxdy=int int_{A} frac{}{\partial y}\partial (y^3/[3(1+x)] dxdy
$-1/3int_{+partial A} [y^3/(1+x)]dx=-1/3int_{+partial gamma2} y^3/(1+x)dx=
$1/3int_{-pi/2}^{\pi/2} sen^4t/(1+cost)dt$(Ma come ha fatto a far uscire $sen^4t$...perkè c'è il dx?)
$1/3int_{-pi/2}^{\pi/2}(1+cost)(1-cost)^2dt=1/3int_{-pi/2}^{\pi/2} sen^2t(1-cost)dt=1/3 [t/2-sen2t/4-sen^3t/3]_{-pi/2}^{\pi/2}$(Ma questi valori t/2-....,ma da dv li ha presi???)
l'esercizio vale $pi/6 -2/9$
Asdpetto votre notizie. Grazie
ho un esercizio del compito di analisi II che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio con le formule di Gauss-Green:
$\int int_{A} y^2/(1+x) dxdy$ dove A è il semicerchio di raggio 1 posto nel semipiano $x>=0$ e centrato nell'origine.
Vi spiego la prof come l'ha risolto:
$\int int_{A} y^2/(1+x) dxdy=int int_{A} frac{}{\partial y}\partial (y^3/[3(1+x)] dxdy
$-1/3int_{+partial A} [y^3/(1+x)]dx=-1/3int_{+partial gamma2} y^3/(1+x)dx=
$1/3int_{-pi/2}^{\pi/2} sen^4t/(1+cost)dt$(Ma come ha fatto a far uscire $sen^4t$...perkè c'è il dx?)
$1/3int_{-pi/2}^{\pi/2}(1+cost)(1-cost)^2dt=1/3int_{-pi/2}^{\pi/2} sen^2t(1-cost)dt=1/3 [t/2-sen2t/4-sen^3t/3]_{-pi/2}^{\pi/2}$(Ma questi valori t/2-....,ma da dv li ha presi???)
l'esercizio vale $pi/6 -2/9$
Asdpetto votre notizie. Grazie
Risposte
Ha considerato $y^2/(1+x)$ come la divergenza del vettore $vecv(x,y)=(0,y^3/(3(1+x)))$,
quindi l'integrale dato è pari a $int_(delA^+) vecv*hatndl$ (ho indicato con $*$ il prodotto scalare)
dove $hatn$ è il versore normale ESTERNO a $delA^+$,
e dove $delA^+$ è la semicirconferenza giacente nel semipiano $x>=0$ percorsa in senso antiorario (per questo
ci ha messo il segno +). Quest'ultima si può parametrizzare con $x(t)=cost$, $y(t)=sint$, $t in (-pi/2,pi/2)$.
In questo caso $hatn(t)-=(x(t),y(t))$ per ogni t, inoltre $dl=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=dt$ per cui l'integrale è pari a
$int_(-pi/2)^(pi/2) (0, (sin^3t)/(3(1+cost))) * (cost,sint) dt = int_(-pi/2)^(pi/2) (sin^4t)/(3(1+cost)) dt= 2/3 int_0^(pi/2) (sin^4t)/(1+cost) dt$
dato che l'integranda è una funzione pari. Adesso $sin^4t = (1-cos^2t)^2 = (1-cost)^2(1+cost)^2$ e semplificando l'integranda
ottieni $(1-cost)^2(1+cost)$, sviluppi questo prodotto, integri ed è fatta.
quindi l'integrale dato è pari a $int_(delA^+) vecv*hatndl$ (ho indicato con $*$ il prodotto scalare)
dove $hatn$ è il versore normale ESTERNO a $delA^+$,
e dove $delA^+$ è la semicirconferenza giacente nel semipiano $x>=0$ percorsa in senso antiorario (per questo
ci ha messo il segno +). Quest'ultima si può parametrizzare con $x(t)=cost$, $y(t)=sint$, $t in (-pi/2,pi/2)$.
In questo caso $hatn(t)-=(x(t),y(t))$ per ogni t, inoltre $dl=sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=dt$ per cui l'integrale è pari a
$int_(-pi/2)^(pi/2) (0, (sin^3t)/(3(1+cost))) * (cost,sint) dt = int_(-pi/2)^(pi/2) (sin^4t)/(3(1+cost)) dt= 2/3 int_0^(pi/2) (sin^4t)/(1+cost) dt$
dato che l'integranda è una funzione pari. Adesso $sin^4t = (1-cos^2t)^2 = (1-cost)^2(1+cost)^2$ e semplificando l'integranda
ottieni $(1-cost)^2(1+cost)$, sviluppi questo prodotto, integri ed è fatta.
mi sapresti spiegare se c'è un metodo pratico per capire un se un dominio normale è normale rispetto all'asse x, all'asse y o a tutti e due?
quando dice sta cosa innanzitutto nn ho mai capito il concetto di versore normale, leggo ma nn lo capisco...,secondo hai usato quindi proprio la funzione di base dell'integrale curvilineo di una funzione?
$int_0^1 f(phi(t)) |phi'(t)| dt = int_phi fds$?
quindi l'integrale dato è pari a $int_(delA^+)vecv*hatndl$ (ho indicato con ⋅ il prodotto scalare)
dove $n^$ è il versore normale ESTERNO a $delA^+,$
quando dice sta cosa innanzitutto nn ho mai capito il concetto di versore normale, leggo ma nn lo capisco...,secondo hai usato quindi proprio la funzione di base dell'integrale curvilineo di una funzione?
$int_0^1 f(phi(t)) |phi'(t)| dt = int_phi fds$?
"75america":
mi sapresti spiegare se c'è un metodo pratico per capire un se un dominio normale è normale rispetto all'asse x, all'asse y o a tutti e due?
Un dominio è normale all'asse x se si può scrivere nella forma $a<=x<=b$, $f_1 (x) <= y <= f_2 (x)$, normale all'asse y se si può scrivere nella forma
$c<=y<=d$ (giusto per non usare le stesse lettere), $g_1 (y) <= x <= g_2 (y)$.
Qui è spiegato bene.
quando dice sta cosa innanzitutto nn ho mai capito il concetto di versore normale, leggo ma nn lo capisco...,secondo hai usato quindi proprio la funzione di base dell'integrale curvilineo di una funzione?
No... E' l'integrale di un vettore lungo una curva... Non è proprio la stessa cosa.
Mi sa che ti conviene studiarti bene il capitolo sulle curve del libro di
Bramanti, Pagani e Salsa, "Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare",
ci trovi l'essenziale che devi sapere... E poi quello sul calcolo
integrale per funzioni di più variabili a valori vettoriali.
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