Applicazione del teorema di Dini alla soluzione di un sistema lineare

[TheNiteOwl]

Grazie a tutti,
non mi perdo in convenevoli e butto subito l'esercizio
in \(\displaystyle \Re^3 \) sia \( (V):\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \end{cases} \) e \( det\begin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\neq 0 \). Determinare una base dello spazio vettoriale determinato dalle soluzioni del sistema \(\displaystyle (V) \).
Per prima cosa ho applicato il teorema di Dini a più variabili, e trovato la funzione \( \varphi \) che relaziona le soluzioni del sistema. Però poi mi sono bloccato e non so bene come andare avanti

[TheNiteOwl]

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[Fioravante Patrone1]

C'è un errore "metodologico" di fondo, dietro alla tua domanda.

Il teorema di Dini serve ad estendere (localmente) al caso non lineare quello che si sa dall'algebra lineare. La filosofia retrostante a questo tipo di teoremi (Dini, inversione locale, e simili) è che se hai una decente (chessò, di classe $C^1$) funzione non lineare, quello che vale per la sua approssimazione lineare vale anche (localmente, ovvero in un opportuno intorno) anche per la funzione stessa, purché non vi sia degenerazione (le condizioni su derivate diverse da zero and friends).

Quindi lascia perdere Dini e vai all'algebra lineare.