Applicazione del Lemma di Gronwall
Data una funzione $f:RR->RR$ continua e tale che $t*f(t)>=0$ $AAt\inRR$ devo studiare il problema di Cauchy
$\{(y''+e^(-x)f(y)=0),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
e in particolare devo mostrare che ha come unica soluzione la $y=0$.
Innanzitutto, se moltiplico l'equazione differenziale per $e^x*y'$ devo imporre che $e^x*y'!=0$ e quindi $y'!=0$ e sto quindi perdendo tutte le soluzioni costanti (cioè quelle con derivata prima nulla)?
$\{(y''+e^(-x)f(y)=0),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
e in particolare devo mostrare che ha come unica soluzione la $y=0$.
Innanzitutto, se moltiplico l'equazione differenziale per $e^x*y'$ devo imporre che $e^x*y'!=0$ e quindi $y'!=0$ e sto quindi perdendo tutte le soluzioni costanti (cioè quelle con derivata prima nulla)?
Risposte
Se moltiplichi una uguaglianza per un qualsiasi numero (\(0\) compreso) ottieni ancora un'uguaglianza...
Si effettivamente ho detto una cavolata (forse ho pensato a quando divido un'uguaglianza anzichè a quando la moltiplico).
Ora può venirmi in aiuto il lemma di Gronwall per mostrare che l'unica soluzione possibile è $y=0$?
Avevo pensato di ricalcare la dimostrazione del teorema delle soluzioni globali ma qui abbiamo a che fare con un'equazione del secondo ordine...
Ora può venirmi in aiuto il lemma di Gronwall per mostrare che l'unica soluzione possibile è $y=0$?
Avevo pensato di ricalcare la dimostrazione del teorema delle soluzioni globali ma qui abbiamo a che fare con un'equazione del secondo ordine...
Di questo esercizio si è già discusso qui:
viewtopic.php?f=36&t=110771&p=726360&hilit=gronwall#p726360
viewtopic.php?f=36&t=110771&p=726360&hilit=gronwall#p726360
Ah già, grazie! 
Mi sfugge però come hai ricavato l'uguaglianza $v(x)=-2F(y(x))+\int_0^xv(t)dt$...
Mi sfugge però come hai ricavato l'uguaglianza $v(x)=-2F(y(x))+\int_0^xv(t)dt$...
Puoi partire da \(\int_0^x v \) e integrare per parti.
Vediamo...
$\int_0^x v(t)dt=\int_0^x e^t*(y'(t))^2dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-\int_0^x e^t*2y'(t)y''(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x e^t*y'(t)y''(t)dt$
(ora uso l'equazione differenziale che mi dice che $e^xy'(x)y''(x)=-y'(x)*f(y(x))$)
$[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x e^t*y'(t)y''(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x f(y(t))y'(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2[F(t)]_0^x=$
$=e^x*(y'(x))^2-2F(x)=v(x)-2F(x)$
ho però usato una definizione di $F$ diversa dalla tua cioè $F(x)=\int_0^x f(y(t))dt$, mi pare che sia equivalente no?
$\int_0^x v(t)dt=\int_0^x e^t*(y'(t))^2dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-\int_0^x e^t*2y'(t)y''(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x e^t*y'(t)y''(t)dt$
(ora uso l'equazione differenziale che mi dice che $e^xy'(x)y''(x)=-y'(x)*f(y(x))$)
$[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x e^t*y'(t)y''(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x f(y(t))y'(t)dt=$
$=[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2[F(t)]_0^x=$
$=e^x*(y'(x))^2-2F(x)=v(x)-2F(x)$
ho però usato una definizione di $F$ diversa dalla tua cioè $F(x)=\int_0^x f(y(t))dt$, mi pare che sia equivalente no?
Le equazioni risultano, almeno sul mio browser, tagliate e dunque di difficile (impossibile?) lettura.
Puoi impaginare meglio per favore?
Puoi impaginare meglio per favore?
Fatto, ora dovrebbe essere piu' leggibile
Non mi sembra corretto.
La derivata della tua \(F\) è \(F'(x) = f(y(x))\).
La derivata della tua \(F\) è \(F'(x) = f(y(x))\).
Allora non mi e' molto chiaro come procedere...
Fino a $[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x f(y(t))y'(t)dt$ ci siamo no? il problema e' poi come far diventare quell' $\int_0^x f(y(t))y'(t)dt$ una $F(y)$ giusto?
Fino a $[e^t*(y'(t))^2]_0^x-2\int_0^x f(y(t))y'(t)dt$ ci siamo no? il problema e' poi come far diventare quell' $\int_0^x f(y(t))y'(t)dt$ una $F(y)$ giusto?
Ma la risposta sta già scritta nell'altro thread...
Definisci \(F(z) := \int_0^z f(s) \, ds\); usando il teorema di derivazione della funzione composta (tenendo conto del fatto che \(F' = f\) per il teorema fondamentale del calcolo) hai che
\[
\frac{d}{dx} F(y(x)) = F'(y(x)) y'(x) = f(y(x)) y'(x).
\]
Definisci \(F(z) := \int_0^z f(s) \, ds\); usando il teorema di derivazione della funzione composta (tenendo conto del fatto che \(F' = f\) per il teorema fondamentale del calcolo) hai che
\[
\frac{d}{dx} F(y(x)) = F'(y(x)) y'(x) = f(y(x)) y'(x).
\]
Si si d'accordo ma se ho quell'integrale che e' calcolato tra $0$ e $x$ come posso dire che e' uguale a $F(y)$ che e' un integrale calcolato tra $0$ e $y$?
Per non fare confusione, sia \(g(x) = F(y(x))\). Sappiamo che \(g(0) = F(y(0)) = F(0) = 0\), dunque
\[
g(x) = \int_0^x g'(s) ds.
\]
Se sostituisci, usando a secondo membro la relazione del precedente messaggio, ottieni che
\[
F(y(x)) = \int_0^x f(y(s)) y'(s) ds.
\]
\[
g(x) = \int_0^x g'(s) ds.
\]
Se sostituisci, usando a secondo membro la relazione del precedente messaggio, ottieni che
\[
F(y(x)) = \int_0^x f(y(s)) y'(s) ds.
\]
Si ora penso di aver capito, ma se senza definire tutte queste funzioni che fanno fare confusione ai miei due poveri neuroni dico semplicemente che:
$int_0^xv(t)dt=$
$int_0^xe^t(y'(t))^2dt=$
$[e^t(y'(t))^2]_0^x-int_0^xe^t2y'(t)y''(t)dt=$ uso il fatto che $y'(0)=0$
$v(x)-int_0^xe^t2y'(t)y''(t)dt=$
$v(x)-2int_0^xe^ty'(t)y''(t)dt=$ uso l'equazione differenziale
$v(x)+2int_0^xy'(t)f(y(t))dt=$ (* qui c'è il passaggio che mi creava problemi *) (confermi che così è ok?)
$v(x)+2int_0^(y(x))f(t)dt$
Ora esplicito $v(x)$:
$v(x)=int_0^xv(t)dt-2int_0^(y(x))f(t)dt<=int_0^xv(t)dt$ ho usato il fatto che $f$ è non negativa e dunque quell'integrale è anch'esso non negativo.
Applico quindi il lemma di Gronwall all'ultima relazione ottenendo così $v(x)=e^x(y'(x))^2<=0$ da cui $e^x(y'(x))^2=0$ e quindi $y'(x)=0$, deve quindi essere $y(x)=c$ e imponendo la condizione iniziale $y(0)=0$ si ha che la soluzione è $y(x)=0$.
Tutto corretto o ho scritto qualche cavolata con quell'integrale?
$int_0^xv(t)dt=$
$int_0^xe^t(y'(t))^2dt=$
$[e^t(y'(t))^2]_0^x-int_0^xe^t2y'(t)y''(t)dt=$ uso il fatto che $y'(0)=0$
$v(x)-int_0^xe^t2y'(t)y''(t)dt=$
$v(x)-2int_0^xe^ty'(t)y''(t)dt=$ uso l'equazione differenziale
$v(x)+2int_0^xy'(t)f(y(t))dt=$ (* qui c'è il passaggio che mi creava problemi *) (confermi che così è ok?)
$v(x)+2int_0^(y(x))f(t)dt$
Ora esplicito $v(x)$:
$v(x)=int_0^xv(t)dt-2int_0^(y(x))f(t)dt<=int_0^xv(t)dt$ ho usato il fatto che $f$ è non negativa e dunque quell'integrale è anch'esso non negativo.
Applico quindi il lemma di Gronwall all'ultima relazione ottenendo così $v(x)=e^x(y'(x))^2<=0$ da cui $e^x(y'(x))^2=0$ e quindi $y'(x)=0$, deve quindi essere $y(x)=c$ e imponendo la condizione iniziale $y(0)=0$ si ha che la soluzione è $y(x)=0$.
Tutto corretto o ho scritto qualche cavolata con quell'integrale?
Sì, va bene. C'è solo da osservare che il passaggio incriminato viene così perché \(y(0) = 0\) (in generale l'integrale verrebbe \(\int_{y(0)}^{y(x)}\ldots\)).
Altra cosa: "... ho usato il fatto che \(f\) è non negativa..." non va bene.
Infatti \(f(t)\geq 0\) per \(t\geq 0\), mentre \(f(t)\leq 0\) per \(t\leq 0\). Ma questo è esattamente ciò che ti serve per dire che \(\int_0^y f \geq 0\) (considera i due casi con \(y\geq 0\) e \( y < 0\)).
Altra cosa: "... ho usato il fatto che \(f\) è non negativa..." non va bene.
Infatti \(f(t)\geq 0\) per \(t\geq 0\), mentre \(f(t)\leq 0\) per \(t\leq 0\). Ma questo è esattamente ciò che ti serve per dire che \(\int_0^y f \geq 0\) (considera i due casi con \(y\geq 0\) e \( y < 0\)).
"Rigel":
Sì, va bene. C'è solo da osservare che il passaggio incriminato viene così perché \(y(0) = 0\) (in generale l'integrale verrebbe \(\int_{y(0)}^{y(x)}\ldots\)).
Certo, avevo solo omesso di precisare il passaggio intermedio
"Rigel":
Altra cosa: "... ho usato il fatto che \(f\) è non negativa..." non va bene.
Infatti \(f(t)\geq 0\) per \(t\geq 0\), mentre \(f(t)\leq 0\) per \(t\leq 0\). Ma questo è esattamente ciò che ti serve per dire che \(\int_0^y f \geq 0\) (considera i due casi con \(y\geq 0\) e \( y < 0\)).
Se $y(x)>=0$ ho che $\int_0^(y(x))f(t)dt>=0$ perche' $f$ e' non negativa nell'intervallo $[0,y(x)]$.
Se $y(x)<=0$ ho che $\int_0^(y(x))f(t)dt=-\int_(y(x))^0f(t)dt>=0$ perche' $f$ e' non positiva nell'intervallo $[y(x),0]$.
Ora dovrebbe andare meglio questa parte, giusto?
Un'ultima cosa...mi ricollego alla domanda che avevo fatto all'inizio di questo thread: visto che la prima cosa che ho fatto e' stata moltiplicare l'equazione per $e^xy'(x)$ non ho "aggiunto" tutte le soluzioni costanti (cioe' quelle con $y'=0$)? In tal caso dovrei quindi verificare che l'unica soluzione che ho trovato, cioe' la $y=0$, soddisfi all'equazione differenziale di partenza cioe' $y''+e^(-x)f(y)=0$ (che in questo caso e' vero).
Chiama \(S_1\) l'insieme delle soluzioni del PdC di partenza. Moltiplicando come hai fatto ottieni un'equazione che può avere, eventualmente, più soluzioni (stai aggiungendo quelle costanti). Se indichiamo con \(S_2\) l'insieme delle soluzioni della nuova equazione, avremo dunque che \(S_1\subseteq S_2\). Se dimostri che \(S_2\) contiene al più un elemento, allora anche \(S_1\) potrà contenere al più un elemento.
Sisi, ma noi abbiamo mostrato che $S_2$ contiene un solo elemento che è $y=0$, ma non che questo sta anche in $S_1$.
Dobbiamo quindi ora verificare se quest'elemento appartiene a $S_1$ oppure a $S_2\\S_1$.
Sostituendo $y=0$ nella $y''+e^(-x)f(y)=0$ otteniamo un'identità e dunque la soluzione $y=0$ sta in $S_1$, cioè è effettivamente soluzione del problema di Cauchy di partenza.
Grazie dell'aiuto e della pazienza (mi continuavo a confondere con gli integrali di prima e non ne andavo fuori
)!!
Dobbiamo quindi ora verificare se quest'elemento appartiene a $S_1$ oppure a $S_2\\S_1$.
Sostituendo $y=0$ nella $y''+e^(-x)f(y)=0$ otteniamo un'identità e dunque la soluzione $y=0$ sta in $S_1$, cioè è effettivamente soluzione del problema di Cauchy di partenza.
Grazie dell'aiuto e della pazienza (mi continuavo a confondere con gli integrali di prima e non ne andavo fuori
)!!
Sì, certo, che \(y(x) = 0\) fosse un elemento di \(S_1\) era dato (almeno da me) per assodato.
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